箱梁模板的設(shè)計(jì)中的優(yōu)化約束方法

2013-06-20  by:廣州有限元分析、培訓(xùn)中心-1CAE.COM  來源:仿真在線

一.引言

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是以最低的成本獲得最好的效益.是設(shè)計(jì)工作者一直追求的目標(biāo),從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看。工程中的優(yōu)化問題,就是求解極大值或極小值問題,亦即極值問題。優(yōu)化設(shè)計(jì)是以建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)的。優(yōu)化設(shè)計(jì)引用了一些新的概念和術(shù)語(yǔ),如前所述的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件等。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)將機(jī)械設(shè)計(jì)的具體要求構(gòu)造成數(shù)學(xué)模型,將機(jī)械設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。構(gòu)成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)規(guī)劃命題。逐步求解這個(gè)規(guī)劃命題,使其最佳地滿足設(shè)計(jì)要求,從而獲得可行方案中的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中發(fā)展較早的領(lǐng)域,不僅研究了連桿機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)等再現(xiàn)函數(shù)和軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。而且還提出一些標(biāo)準(zhǔn)化程序。機(jī)械零、部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)最近十幾年也有很大發(fā)展。主要是研究各種減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)、液壓軸承和滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及軸、彈簧、制動(dòng)器等的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。除此之外,在機(jī)床、鍛壓設(shè)備、壓延設(shè)備、起重運(yùn)輸設(shè)備、汽車等的基本參數(shù)、基本工作機(jī)構(gòu)和主體結(jié)構(gòu)方面也進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。 近年來發(fā)展起來的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)引入優(yōu)化設(shè)計(jì)方法后。把優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)結(jié)合起來,使設(shè)計(jì)過程完全自動(dòng)化,已成為設(shè)計(jì)方法的一個(gè)熏要發(fā)展趨勢(shì)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)研究的發(fā)展情況表明,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域。并取得了顯著效果。

多維有約束優(yōu)化是在優(yōu)化問題中最普遍的問題,它的基本形式是,有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)F(x),數(shù)個(gè)約束條件。用公式描述如下:

在式中,X為N維向量,表示所需求得的未知量。G(x)與H(x)為兩種不同形式的約束條件。通過對(duì)未知向量X的求解,可得到問題的最優(yōu)解以實(shí)現(xiàn)獲得最低成本的最優(yōu)收益。

本文的問題是某工廠箱梁模版的優(yōu)化設(shè)計(jì),大型的箱梁預(yù)制要求機(jī)械化程度高,操作方便,其中箱梁內(nèi)模設(shè)計(jì)是關(guān)鍵。本問題是對(duì)24m單線箱梁內(nèi)模板的設(shè)計(jì)加工。通過對(duì)彎曲位置X,Y和彎曲角度的約束優(yōu)化,求得內(nèi)模可下降的最大距離H。通過使用了坐標(biāo)輪換法和罰函數(shù)兩種方法實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化的運(yùn)算。在實(shí)際問題中,不僅需要考慮可下降的距離H,還需考慮強(qiáng)度的校合等問題,但由于篇幅有限,得到數(shù)據(jù)不全,僅以最大距離H來作為最優(yōu)函數(shù)進(jìn)行求解。

    二.問題的描述

箱梁內(nèi)模的結(jié)構(gòu)為無底式,其具體形狀見圖1,其中,未知量為X,Y,  以知量為:a,b,c,d,e,f,g,h,m。X為第一次動(dòng)作中模版轉(zhuǎn)動(dòng)的位置,為轉(zhuǎn)動(dòng)角度,Y為第二次動(dòng)作中模版轉(zhuǎn)動(dòng)的位置,為轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

圖1:內(nèi)模斷面結(jié)構(gòu)圖

    箱體梁模的四個(gè)動(dòng)作步驟:

    ① 收下側(cè)模;

    ② 收上側(cè)模;

    ③ 收頂部油缸,內(nèi)模整體下降;

    ④ 通過外設(shè)卷?yè)P(yáng)機(jī)將內(nèi)模拉出預(yù)制梁箱體。

    通過這4步驟中的前3步建立約束條件。

    圖2:箱體的三個(gè)運(yùn)動(dòng)過程

首先,在靜止條件時(shí)可得到X,Y的約束條件:

    說動(dòng)作一:收下側(cè)模,以A點(diǎn)為中心,將下模旋轉(zhuǎn)角度,在旋轉(zhuǎn)過程中,為了避免碰撞。其中。

    這時(shí)F1點(diǎn)坐標(biāo)

    Gl點(diǎn)坐標(biāo)

    其中:AG=(d—x)

    動(dòng)作二:收上側(cè)模,以B點(diǎn)為中心,將上側(cè)模(此時(shí)下側(cè)模與上側(cè)模連為一體,為剛性體。)旋轉(zhuǎn)角度,在旋轉(zhuǎn)過程中,要求G點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xg2<(a+2b-h)/2,同時(shí)H點(diǎn)橫坐標(biāo)XH>g。

    動(dòng)作三:內(nèi)模整體下降,在此過程中,G1點(diǎn)的Y軸位置應(yīng)該更大。即:XYcosarctg( /)值最大。這樣可以得到所有的約束條件和所需函數(shù):

    三.多維約束優(yōu)化

    1.方法的描述

    多維優(yōu)化分為直接和間接法兩種。

    在直接法中,每一步的迭代解都要服從兩個(gè)條件——可行性和使用性。

    解的可行性是指每一步的迭代解都應(yīng)當(dāng)在可行域的范圍之類。

    解的使用性是指每一步的迭代解都應(yīng)當(dāng)是較上一值更優(yōu)的。(在某些方法中,會(huì)以一定概率接受次解以增加解的可能性)

    本文使用的輪換法就是一種典型的直接優(yōu)化方法。

間接法是指通過一定的方法將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換,使期去除約束,成為無約束優(yōu)化問題,從而使用無約束優(yōu)化的方法來解決。其中,懲罰函數(shù)法為較為常用的間接法。

    2.輪換法的敘述

    一般問題的可行域?yàn)?

在約束范圍中當(dāng)存在某個(gè)點(diǎn)X*,使其周圍每個(gè)點(diǎn)當(dāng)距離小于某e>0時(shí),f(x)<f(X*)。則我們稱:X為一個(gè)局部最優(yōu)解。在一個(gè)問題中,可能存在數(shù)個(gè)局部最優(yōu)解。

全局最優(yōu)解為所求問題中整體的最小值,即我們所欲求得的值,全局最優(yōu)解一定在局部最優(yōu)解中,故,只需在局部最優(yōu)解中尋找最小值即可。

輪換法為一種直接求解的有約束優(yōu)化方法,其建立在多維無約束優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上?；舅枷霝?尋找某維上的最小值直至找到或超出范圍,換維繼續(xù)尋找,直至到達(dá)終止條件。步驟可以簡(jiǎn)單描述:

    1.選取一個(gè)步長(zhǎng)a,初始值x(0)和終止條件e

    2.沿x(0)中的第一維方向進(jìn)行搜索,其初始步長(zhǎng)為a,

    3.當(dāng)x(0)的第一維方向以a=2a的速度進(jìn)行搜索,直至f(x)開始增大(既找到局部最優(yōu)解)或x超出約束條件

    4.退回當(dāng)前步長(zhǎng)a,將此x(0)的第一維方向記做x(1)的第一維方向,增加一維從新進(jìn)行2-4步過程。

    5.當(dāng)x(0)達(dá)到其最大維數(shù),使用所記錄的x(1)進(jìn)行新的搜索,此時(shí),a=a/2

    6.如此循環(huán)直至達(dá)到終止條件

    其流程圖基本如下:

    圖3:輪換坐標(biāo)法的流程圖

    3.懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法是一種間接求解的多維有約束優(yōu)化算法,它的數(shù)學(xué)模型與輪換法類似,不過,引入了一個(gè)新的條件,罰函數(shù):

    此罰函數(shù)須滿足兩個(gè)條件:

    1.不破壞原函數(shù)的約束條件

    2.取最小值時(shí)的x因?yàn)閒(x)取最小值時(shí)的x

通過引入罰函數(shù),原問題變成了高維的無約束優(yōu)化問題,可以使用無約束優(yōu)化方法進(jìn)行求解。

具體步驟如下:

    1.在可行域內(nèi)選擇初始點(diǎn)x0, x0的選擇可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇

    2.確定初始罰因子r0和C,并確定K值為0。

    3.求罰函數(shù)的最小值,解出最優(yōu)點(diǎn)Xk

    4.當(dāng)K=0時(shí),跳至步驟5,否則至6

    5.xk+1=xk,轉(zhuǎn)至步驟3

    6.判斷終止條件,滿足則繼續(xù)到7,否則至步驟5

    7.輸出f(x)與x

    其路程圖大致如下:

圖4:罰函數(shù)法的流程圖

    結(jié)束條件通常有兩個(gè),一為兩次的X值的變化較小,即,二為兩次的F(x)值變化較小,即

    四.問題的實(shí)際應(yīng)用

在實(shí)際問題中,應(yīng)當(dāng)先建立正確的模型以進(jìn)行進(jìn)一步的分析。

    在第二節(jié)中,對(duì)問題的分析后給出的數(shù)學(xué)模型建立如下:

其中,X,Y,  , 作為未知量進(jìn)行輪換,而下面四個(gè)為約束條件,函數(shù)F(x)是個(gè)求最大值的函數(shù),故可將F(x)=-F(x)。

使用輪換坐標(biāo)法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化,將X(X,Y,  , )作為坐標(biāo)四維向量進(jìn)行輪換運(yùn)算。當(dāng)達(dá)到結(jié)束條件時(shí),可終止運(yùn)算。

對(duì)模型的建立,罰函數(shù)法與坐標(biāo)輪換法基本一致,均使用在第二節(jié)中分析出的目標(biāo)函數(shù)和約束條件,在運(yùn)算時(shí),需使罰函數(shù)用(x)的形式表示。即 (因?yàn)榧s束條件為4個(gè),且只存在的形式。使用此罰函數(shù)進(jìn)行多維無約束優(yōu)化運(yùn)算,達(dá)到終止條件時(shí)對(duì)其終止,可得到優(yōu)化結(jié)果。

    五.結(jié)論

通過使用坐標(biāo)輪換法對(duì)箱體的壓模進(jìn)行設(shè)計(jì)后,得到了較好的結(jié)果,雖然同實(shí)際的結(jié)果存在著一定的差異,因?yàn)樵趯?shí)際工作中,需考慮到物體的強(qiáng)度等更多的因素,需增加更多的約束條件。

從整體看來,機(jī)械優(yōu)化是一種先進(jìn)有效的優(yōu)化方法,它有效的運(yùn)算了在多維有約束的條件下,機(jī)械設(shè)計(jì)的最優(yōu)解的求得。在各個(gè)領(lǐng)域里均得到了廣泛的運(yùn)用,有效的提高了產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)計(jì)。

并且,隨著對(duì)運(yùn)算要求的不斷提高,更多的優(yōu)化方法也被提出,如,遺傳算法,模擬退火算法,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法,蟻群算法。這些方法更能快速有效的提高了優(yōu)化的運(yùn)算,為機(jī)械的設(shè)計(jì)提供了更好的工具。

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