無風不起浪——談?wù)劜ɡ耸侨绾斡娠L引起的

2017-05-04 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

注:文中為了簡單定量地說明具有微小擾動的液面,在風的作用下會起波浪,引進了少量簡化計算,如果對這部分沒有興趣,可以跳過,直接看得到的結(jié)論就可以了。

俗話說“無風不起浪”。是說風在水面上拂過才引起水面的波浪。所以南唐馮延巳有詞說:“風乍起,吹皺一池春水”。南唐馮延巳的詞是說的微風的情形,而且風是“乍起”,即風吹的時間不很長,所以只是把水面吹皺。如果風速很大,風吹的延續(xù)時間又很長,還能夠在江河湖海里掀起驚濤駭浪、翻江倒海。有紀錄顯示,臺風引起的海浪起伏高度竟可達32米。大約有10層樓高!

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圖1 風乍起,吹皺一池春水

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圖2 驚濤駭浪

從人們的直覺來看,似乎是由于風吹過水面時空氣與水面的摩擦力把水帶動引起的波浪。其實,沒有那樣簡單。因為要是那樣的話,既然風與水之間的摩擦力,作用在水平面上,總是水平地沿著水平面并指向風吹的方向的,所以風的作用只能帶動表面的水隨著風的方向流動,而不會掀起那樣垂直于水面起伏的波浪。所以實際情況和這種直覺并不符合。那么,水到底是怎樣掀起波浪的呢?

這個問題有許多人進行過研究,有的主要考慮風對水面的法向應(yīng)力[3],當然也有的主要考慮切向應(yīng)力[4]。還有的用數(shù)值方法來求解。迄今也很難說有一個公認的結(jié)論。

我們這里利用比較簡單的力學(xué)模型來進行定性的討論。

先來看一種情形,如圖設(shè)粗線代表已經(jīng)有一個波浪的水面。風是從左邊吹來的。設(shè)想與水面有一定距離的地方,在虛線所畫的那個高度上風速已經(jīng)是均勻的了。并且設(shè)想風是吹過由水面與虛線組成的洞體的。顯然,水面高處A,洞體的截面比起水面低處B的截面要小,所以A處的風速要比B處的風速大。

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圖3 風與水面作用的示意圖

流體力學(xué)中有一個很重要的定律,就是伯努利定律。這個定律說,在一條流線上,流體質(zhì)點的速度與在這點的壓強成反比。也就是速度愈大壓強愈小。更具體地說是沿著一根流線,我們設(shè)流體質(zhì)點的速度為v密度為ρ,這點的壓強為p,它們之間有關(guān)系

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從這個定律可以看出,流體速度大的地方,壓強要小,速度小的地方壓強要大。也就是一般地可以說,既然在水面高處風的流速比低處大,那么在水面高處相對于平均壓強來說是負值,而水面低處取正值。

這就是說,在有風的情況下,只要是水面有了起伏,水面高的地方受一個向上的吸力,而低的地方受一個向下的壓力。

在沒有風,也沒有別的擾動的情形下,水面的自然平衡狀態(tài)是水平的。如果有一個擾動,使水面的一個地方鼓起來了,像下圖,中心滴進一滴水。這時,在重力作用下,鼓起的地方就要向下運動,當鼓起的地方達到水平面時,由于向下運動的慣性,那些質(zhì)點還會繼續(xù)向下運動,直到把原來鼓起來的地方向下形成一個坑。這地方形成了坑,原來這地方的水質(zhì)點便會被擠到四周,使得四周高起來。這時,四周高起來的地方又在重力作用下回落,又要形成一圈環(huán)狀的坑,原來坑的地方又會向上運動鼓起來。就是說,原來鼓起來的地方的水質(zhì)點,會不斷上下運動,而周圍便形成波,一圈一圈往外傳。隨著波的運動能量往外傳,再加水內(nèi)部的粘性,運動的振幅逐漸衰減下來趨于平靜,水面又回復(fù)水平的平衡狀態(tài)。

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圖4 水滴引起的波浪

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圖5 波浪起伏時流體質(zhì)點的運動

圖5表示在小振幅的波浪,或者說在線性化表面波理論之下,液體質(zhì)點的運動軌跡。它們都在沿著一個近似圓的軌跡運動。在質(zhì)點處于液體愈深則圓半徑愈小,切逐漸變?yōu)闄E圓。

現(xiàn)在,我們考慮平靜的水平面上有風吹來。從前面討論,我們看出,只要水面有任何的輕微擾動,亦即當水平面有任何一點小的高低不平,于是高的地方就受一個向上的吸力,低的地方就受一個向下的壓力。水面的任何地方都在上下運動,隨著上下運動,同一個地方一會凸起,一會凹下去,凸起來,風就向上吸,凹下去風就向下壓。不過,由于凸面不管是在上升還是下降都向上吸,凹面也是不管是上升還是下降都是向下壓,所以這種情況下并不會有能量輸入。水面的波動也不能夠保持。

現(xiàn)在我們要問,當水面經(jīng)過微小的擾動凸起來后,怎樣的風速能夠使這個凸起維持?顯然,如果風速比能夠維持水面凸起略微大一點,因為凸起的地方受風的作用向上吸,凹面受風的作用向下壓,波浪就會維持和繼續(xù)升高。為此,我們做下面的簡單估算:

考慮圖3上的A點,大氣的密度為ρ,風速為v;我們還由小振幅重力波理論知道,水面上A點的運動軌跡是一個以R為半徑的圓,不妨設(shè)這個質(zhì)點的運動周期為T,我們知道水的密度是1000 kg/m3,重力加速度為g,A點的速度是2πR/T顯然質(zhì)點A所受慣性力和風力與重力相平衡的條件,即風對A點向上吸力加上A點做圓周運動的向上的慣性力應(yīng)當和A點所受的重力相平衡,這就是:

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密度用ρ=1.29kg/m3代入,近似用g=10m/s2,π2=10代入,就近似得到。

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由于式中左邊為正,所以右端必須有R/T<0.25,即R<0.25T,否則在無風的條件下,A處的質(zhì)點會自動跳離水面,這當然是不可能的。在實際情況,水面的微小擾動,可以有不同的R和不同的T,這對應(yīng)于不同的波長與周期。于是可以看出,當R/T與0.25很接近時,很小的風速就能夠使微擾動的水面凸起不再下落。

上面我們是對于水面上一個質(zhì)點微小擾動后所受的重力、風力和慣性力來討論,他被風“掀起”的條件?，F(xiàn)在我們換一個角度來討論風壓對這個被擾動后的液面所做的功。

設(shè)在傳播中的波面的表達式為:

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其中y是波表面質(zhì)點相對于水平面的高度,T是周期,l是波長,A是波幅。

我們知道,力乘物體的速度,就是力做功的功率?，F(xiàn)在我們來考慮空氣壓力作用在行波面上做功的功率。為此,我們計算上下運動的速度:

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其中u=dx/dt,是波傳播速度。

現(xiàn)在考慮作用在波面上的壓強。我們前面討論過,風壓的分布是隨液面的起伏不同,扣除平均大氣壓力,在波面高處,有向上的吸力,在低處有向下的壓力。在實際情形下,壓強的最大處并不是出于如圖3波面的最高處,而是略微偏右一點,也就是略微偏向波面最高點的背風面。這種情況就使壓強的表達式有一個小的位相偏移量δ,即:

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為簡單計,令α=x/l-t/T,于是在一個振蕩周期中,風壓對波面所做的功率在一個振蕩周期上的積分為:

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積分是從0到T。

由于

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把它代入上式,經(jīng)過簡化和積分就得到:

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由于積分前面的系數(shù)都是正的,被積函數(shù)又是平方項,顯然這是一個正值的積分。就是說,風壓對波面不斷做正功。也就是說,只要是有風,它就會不斷向有微小擾動的液面輸入功,從而增加液體的動能。這就是只要風不斷吹,波浪就會不斷升高的道理。

綜合以上的討論我們看到,在用前面的式子求出的風速的條件下,水平的水面平衡是不穩(wěn)定的。就是說風速的任何增加都會使水面離水平面越來越遠。這就是為什么,風一吹,水面就起波浪,也就是“風咋起,吹皺一池春水”的道理。

不過又會產(chǎn)生一個問題,既然有風持續(xù)吹,波浪就會越來越高,是不是就會無限高下去呢?不會的,我們知道波浪往遠處傳就相當于把能量傳播出去,另外水的粘性也會消耗一部分能量,這樣,當風輸入的能量和波傳播以及水的粘性消耗的能量平衡時,即使風繼續(xù)吹,波浪也不會再高上去,而會維持在一個高度上。一般說來風速越大持續(xù)的時間越長浪越高。下面這張表,就是一張在風吹的條件下風速和海浪高度的對照表。它對于航海的人和漁民還是很有參考意義的。因為從氣象臺知道了預(yù)報的風速,就能夠大致估計出浪高,就會估計是不是適宜出海。

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在圖3上,我們看到的情形是在水面有起伏時,水面上的空氣流動還是貼著水面流動的,也就是說空氣的流動還沒有產(chǎn)生漩渦。實際上,在波浪的形成的水面背風面陡度增加到一定程度,在浪的背風處就會有風的漩渦產(chǎn)生。如圖5我們看到在波浪背風的地方產(chǎn)生了風的漩渦。我們知道漩渦中心的壓強很小,所以那里的吸力更大。這就說明當波浪高到一定程度,波浪的形狀便會是順風的一側(cè)更高。這種壓差,一方面使波浪順著風吹的方向前進,這就表現(xiàn)為行波,即波的高度不變,但它的波峰以一定的速度順風前進;另一方面背風渦的壓差使得波的形狀愈來愈不對稱,即背風面愈來愈陡,這種趨勢不斷發(fā)展下去波浪就會破碎產(chǎn)生如圖7那樣的效果。在實際中就會出現(xiàn)浪花、波浪倒卷、波浪翻滾、驚濤駭浪的情況。

最后,回過頭來說一說風和水面的摩擦力的問題。我們看到風引起的波浪起伏主要是由于風引起水面壓強變化。原因是風與水面的摩擦力很小,是因為空氣和水之間的黏性系數(shù)很小,只占次要的位置,所以在討論風引起的波浪時可以忽略不計。

還應(yīng)當指出的是,如果有兩種比重不同的流體,而且上面比重小的那一層在以一定的速度流動,兩層流體之間也會有波動。這和風與水波的情形是類似的。在具有泥沙的水庫放水時就有這種情形,這時,比重大的泥漿在下面,上面含泥沙較少的水流動,就會激起下面泥漿的波動。如果控制得好,就會把水庫里的泥沙帶走,使水庫的泥沙沉積減緩。這就是平常說的異重流的問題。

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圖6 波浪中背風的漩渦

圖中帶箭頭的線表示風的流動方向,黑箭頭表示水質(zhì)點運動方向,+、-號表示該處壓強與平均壓強為正還是為負。

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圖7 波浪破碎

所以,我們可以做結(jié)論說,風引起波浪主要是由壓強變化而不是由摩擦力引起的。

參考文獻

https://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave
王振東,風乍起,吹皺一池春水——談流體運動的不穩(wěn)定性,《力學(xué)詩趣》p.43-48(王振東、武際可著,湖北科學(xué)技術(shù)出版社,2013)
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