流體N-S方程的剖析

2017-05-05 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

普通的力學(xué)平衡問題我們可以通過一張簡單的受力平衡示意圖來理解其受力平衡,但是對于N-S方程,無法想象出這種示意圖。比如下公式的幾項,怎么在圖上表示呢?

補畫了一張流體微元的受力分析圖。

如果只分析x方向上的,是不是上面的式子的重力項就為0?如果要加入其它的力,是不是也只需求它們在x方向上面的分力?

要回答以上問題,得先一步一步了解下面的流體知識:

1. 歐氏描述 v.s 拉氏描述。

作為學(xué)習(xí)傳統(tǒng)流體力學(xué)的人,有一個必需知道的常識,那就是當(dāng)描述流體流動時,我們采用的是歐拉描述。與其對應(yīng)的是在固體力學(xué)中使用的拉格朗日描述。
通俗的說,拉氏描述關(guān)注對象是物體,比如高中物理中的的神物-----斜坡上的小木塊。而歐氏描述的對象是場,是空間位置,這個就比較抽象了,形象地說就是你研究一根水柱,你看到的其實是一個水柱形狀的空間。當(dāng)水流動時,這根水柱里的水(一群連續(xù)的質(zhì)點)每時每刻都是不同的,但是空間是固定的(水柱狀)。傳統(tǒng)牛頓三定律都是拉氏描述,而且拉氏描述下的牛頓定律在低速條件下是普適的。

為什么會出現(xiàn)這兩種不同的描述呢?
傳統(tǒng)固體力學(xué)的對象是固體,方法是線性的。線性固體力學(xué)的對象是一群位置相對不變的連續(xù)質(zhì)點,外部力向內(nèi)部傳遞的方式是相對固定的(這是線性固體力學(xué)的小形變假設(shè),沒有這個假設(shè),非線性固體力學(xué)和流體力學(xué)本質(zhì)上是一樣的),所以受力分析相對簡單。也就是說,整個計算過程,我們關(guān)注的是某一個或者某一群質(zhì)點,從頭到尾我們都是在分析這群質(zhì)點的受力。
而流體力學(xué)無法這樣分析,因為流體的形變是很大的,當(dāng)你對一坨流體做受力分析,實在太復(fù)雜。而且當(dāng)你對不同形狀的流體做受力分析,外部力向內(nèi)部的傳遞方式是不一樣的。因此,歐拉描述就有了大作用:與其關(guān)注一群質(zhì)點,我關(guān)心的是一個固定的空間(控制體),不同的質(zhì)點可以進(jìn)出這個控制體,但是質(zhì)量守恒與動量、能量平衡在控制體內(nèi)必須得到滿足:流經(jīng)這個控制體的流體,在期間收到多少力,動量就改變多少;收到多少功、熱量,能量就改變多少;而流進(jìn)流出的流體質(zhì)量必須守恒。換言之,此時,不關(guān)心某一個特定的質(zhì)點了,而是關(guān)心的是在某個時間點,位于某個目標(biāo)位置的質(zhì)點。質(zhì)點A這一刻在的目標(biāo)位置,研究它,下一刻它流到了一個不關(guān)心的位置,而質(zhì)點B流了進(jìn)來,那就研究質(zhì)點B。受力分析無法運作了,因為你研究的質(zhì)點時刻在變。

這就可以解釋,為什么流體力學(xué)中沒有Freebody Diagram (受力分析)這種東西?對于質(zhì)點的受力分析是拉氏描述特有的,歐氏描述不具備這樣的特征。因為拉氏描述關(guān)注的是物體 (質(zhì)點),歐氏描述關(guān)注的是空間 (控制體)。你的目標(biāo)質(zhì)點時刻在變,而你對空間本身做受力分析是木有意義的。

那這兩種描述的優(yōu)劣及其聯(lián)系是什么呢?從連續(xù)體力學(xué)和張量分析的角度,這兩者是互通的。根據(jù)研究對象要求隨時變換使用。在上面內(nèi)容也說到了,小形變或者無形變時,比如靜止液體、等液面分析,拉氏描述是更占優(yōu)的,因為它避開了NS方程中隨流項帶來的非線性從而使問題線性化(后面會介紹),解決了解的存在性和唯一性問題。但是,對于做航空發(fā)動機進(jìn)氣道內(nèi)流的,幾百米每秒的速度流動,用拉氏描述分析問題,臣妾做不到啊。所以,具體問題具體分析,兩者一樣好,都是棒棒噠!另外,高校流體力學(xué)的教材中,對歐氏描述介紹比較多,因為拉氏描述大家從高中就知道。

2. 雷諾輸運定理。

提到歐氏與拉氏描述,就必須要講雷諾輸運定理。簡單地說,雷諾輸運定理是連接拉氏描述與歐氏描述的橋梁。

直接擺公式:

等號左邊是物質(zhì)導(dǎo)數(shù),拉氏描述。而等號右邊,就是典型的控制體分析。用通俗的語言來說,就是:物理量m的變化量=控制體內(nèi)物理量m的當(dāng)?shù)刈兓?+ 物理量m流入/流出控制體的量。很多人不理解為什么左邊的d/dt項要在積分外而等號右邊的d/dt(偏微分)項要在等號內(nèi)。這其實也是拉氏與歐氏描述的差異與精髓所在。搞清這點,才算之真的對兩種描述有了一定的認(rèn)識。

正如之前所說,拉氏描述關(guān)注質(zhì)點,那么等號左邊的時間導(dǎo)數(shù)是針對某些特定的質(zhì)點而言的,那么當(dāng)時間變化,這些質(zhì)點移動后,他們所在的位置是改變的,換言之,由這些質(zhì)點組成的空間

也是隨時間改變的。所以,將時間導(dǎo)數(shù)放在積分號外,是因為拉氏描述下,對象空間也是隨時間改變的,時間導(dǎo)數(shù)需要將空間的變化也考慮進(jìn)去。而等號右邊的時間導(dǎo)數(shù),因為是歐氏描述,目標(biāo)空間(控制體)固定, 所以空間不是時間的函數(shù), 于是時間導(dǎo)數(shù)符合就放在了積分號的里面。

雷諾輸運定理的重要性體現(xiàn)在其橋梁作用以及在歐氏描述下的普適性。傳統(tǒng)流體力學(xué)的NS方程就是由雷諾輸運定理結(jié)合牛頓三定律與質(zhì)能守恒律推導(dǎo)出來的。

3. NS方程。

鑒于篇幅,只推導(dǎo)動量方程了,質(zhì)量與能量方程請大家自己看教科書。

在之前說過,歐氏描述下的控制體分析,精髓在于流量守恒。對于一個固定的控制體,以質(zhì)量為例,在沒有源的前提下,流進(jìn)和流出控制體的質(zhì)量,必須是相等的。類似的還有動量與能量的平衡。

但是,數(shù)學(xué)描述是怎樣的呢?在開頭介紹歐氏與拉氏描述是,提到過一點,牛頓三定律是拉氏描述,而且牛頓定律是低速下普適的。任何其他動量方程必須以滿足牛頓三定律為前提。所以,以動量方程為例,推導(dǎo)就應(yīng)該從牛頓定律開始,也就是:

考慮到流體不是一個質(zhì)點,而是一個連續(xù)體,所以:

其實

表示單位體積的力。到這里,我沒有使用任何歐氏描述,一切都是拉氏描述,沒有任何變換。接下來,就要引入歐氏描述了。等號的左邊是不是特別眼熟?雷諾輸運定理:

利用高數(shù)里的高斯散度定理,上述方程的第三項流量項可替換為散度的體積積分,于是:

第二項內(nèi)的兩點表示張量積。這不是重點,重點在于,整個方程變成了一個關(guān)于V的積分方程。因為控制體的選擇是任意的,所以上述等式滿足的必要條件是:

等號左邊的項,是一個三維矢量,其x方向的投影就是題主在問題描述中的x方向動量方程的等號左邊部分。

我已經(jīng)提到過,NS方程本身就是一個針對牛頓流體的模型。原因在于,牛頓流體的應(yīng)力是與其應(yīng)變率成正比的:

其中

就是應(yīng)變率矩陣,其元素定義如下:

而

是一個3x3x3x3的張量,但是因為我們的理論學(xué)習(xí)多假設(shè)各項同性和泊松效應(yīng),所以就簡化成一個3x3的矩陣了,其性質(zhì)類似彈簧的剛度系數(shù)或者材料力學(xué)中的材料的剪切系數(shù)、泊松比之類的,總而言之,就是一系列與流體本身性質(zhì)相關(guān)的常數(shù)。再根據(jù):

另外,如果在考慮重力,結(jié)合上述,一項一項代入,你看到的就是完整的NS方程組。

4、關(guān)于NS方程組形象的物理意義。

上面的推導(dǎo),基本上把NS方程基本的物理意義介紹了一遍。而題主要形象地介紹NS方程,從以下幾個點再補充一些:

1)隨流項。

NS方程組的至今無解的原因,是因為方程本身是非線性的。而非線性的源頭就是等號左邊的第二項,即:

眾所周知,對于非線性偏微分方程,除了少數(shù)極簡單的方程外,普遍意義上來說還沒找到有效的普適的求解析解的方式。而且NS方程組的本身還是二階非線性的,而且還是方程組,這就更無解了。

雖然無解,但是隨流項的物理意義卻非常重要:它表征了流體中物理量在空間中的信息傳遞。

首先,隨流項是在拉氏描述向歐氏描述轉(zhuǎn)換時產(chǎn)生的,這說明隨流項是歐氏特有的。拉氏沒有這樣的非線性項。那么回到歐氏描述。歐氏描述的特征是目標(biāo)空間。在歐拉描述下,研究對象時正好位于目標(biāo)空間的物質(zhì)。舉個不恰當(dāng)?shù)睦?一幫運動員繞著田徑場跑長跑。而我研究他們的速度,我盯著的是200米處這個位置,任何經(jīng)過這個位置的人,我都記下他/她的速度。這是歐氏的描述方式。那么隨流項在歐氏描述下起到的作用是什么呢?正如我之前所說,信息傳遞。

還是這群長跑的運動員,我想知道其中某個運動員在300米處時的速度,我知道運動員的速度隨著距離的增加而減小的規(guī)律,同時知道他們在200米處的速度,那么300米處的速度怎么求?不就是200米處的速度+300米處到200米處的速度變化嗎?寫成數(shù)學(xué)公式:

如果每個運動員經(jīng)過200米處的速度隨時間變化:

是不是就是隨流項?

通俗地說:

i)隨流項是歐氏與拉氏描述在微分下互相轉(zhuǎn)換的橋梁(雷諾輸運定理是積分下的橋梁);

ii)隨流項描述了某個質(zhì)點原始所具備的物理量隨流體流動方向的傳播方式。

iii) 流體中任意一個質(zhì)點的物理量,不僅與它當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān),也與它之前的狀態(tài)相關(guān),兩者之間的連系方式就是隨流項。

的應(yīng)用范圍。

一句話:

本身是沒有限制的,如果你研究的流體有自己的特性,那么等號右邊的

項會有不同的表達(dá)方式,但是大體的推導(dǎo)過程和上面沒啥差別。

總結(jié):

想起hydrodynamics老師上課時候說過一句話,看一個公式大概長什么樣是沒用的,一定要自己拿起紙筆一步一步推導(dǎo)一遍。NS方程就是最好不過的例子。

理解NS方程需要這幾個方面:
1,理解拉格朗日和歐拉體系的不同以及從中推導(dǎo)的material derivative的關(guān)系;
2, 理解mass conservation & momentum conservation; 后者就是牛頓第二定律;
3, 理解流體與固體本質(zhì)不同的本構(gòu)方程;
4,最后加上newton fluid的假設(shè),和一些純數(shù)學(xué)的推導(dǎo)。

最后結(jié)合文章開始的圖,如果能完全理解control volumn的方法的話,這些關(guān)系就很容易理清了。

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