CFD逆天黑科技：“多重網(wǎng)格法”

2017-02-24 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

為什么要在CFD中使用多重網(wǎng)格法?

CFD的偏微分方程組離散后需要使用迭代解法來求解,比較常用的求解方法有高斯賽德爾點(diǎn)迭代法、雅克比點(diǎn)迭代法等(參考:可否認(rèn)真的考慮過什么是CFD中的殘差?為什么殘差都是小數(shù)?)。隨后,不同的Krylov子空間方法成功逆襲被應(yīng)用到CFD中。

但是,Krylov子空間方法的一個(gè)致命問題即為當(dāng)稀疏線性系統(tǒng)變得非常大的時(shí)候,收斂速度會(huì)變慢。這種迭代速率的變慢,每一步操作數(shù)的增加造成了嚴(yán)重的效率損失。

下圖是采用普通的迭代算法求解10*10矩陣,20*20矩陣,40*40矩陣的收斂速度對(duì)比(CFD界:H.K. Versteeg在原著中并沒有表示是采用了什么迭代算法...)。很明顯的,40*40矩陣的收斂速度在大約100次迭代后嚴(yán)重放緩。

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多重網(wǎng)格針對(duì)這種求解系統(tǒng)越大,收斂越慢的問題而生!

多重網(wǎng)格歷史

早期的多重網(wǎng)格方法可以追溯到60年代。然而,在70年代末和80年代初期多重網(wǎng)格法才出現(xiàn)各種變種。Brandt是多重網(wǎng)格的先驅(qū)者。他在多重網(wǎng)格中引入了各種關(guān)鍵技術(shù)(至今仍然廣泛采用),并且和當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的求解方法相對(duì)比,充分的展示了多重網(wǎng)格法的優(yōu)越性。隨后,代數(shù)多重網(wǎng)格法被提出。

時(shí)至今日,多重網(wǎng)格法依然是求解橢圓PDE最有效的方法。然而,多重網(wǎng)格法依然存在一些缺陷,因此對(duì)多重網(wǎng)格法的研究從未停止。因?yàn)橛?jì)算機(jī)能力越來越強(qiáng),這種收斂速度和網(wǎng)格大小無關(guān)的算法越來越重要。

多重網(wǎng)格法思想

多重網(wǎng)格求解技術(shù)需要在不同的粗細(xì)量級(jí)的網(wǎng)格上對(duì)同一個(gè)原始的PDE方程進(jìn)行求解。舉個(gè)栗子:

我們首先在40*40網(wǎng)格上對(duì)PDE方程進(jìn)行離散,然后在這個(gè)10*10網(wǎng)格上求解n1次
將PDE方程離散到20*20的網(wǎng)格上,進(jìn)行n2次迭代
將PDE方程離散到10*10的網(wǎng)格上,進(jìn)行n3次迭代
將10*10的網(wǎng)格上求得的解,重組到20*20網(wǎng)格,進(jìn)行n4次光順
將20*20的網(wǎng)格上求得的解,重組到40*40網(wǎng)格,進(jìn)行n5次光順

上述過程就完成了多重網(wǎng)格求解的一次循環(huán)。由于多重網(wǎng)格法是極為、非常、相當(dāng)復(fù)雜的。關(guān)于如何正確地對(duì)方程進(jìn)行操作和計(jì)算,CFD界在這里就不介紹了。

CFD大牛?一測便知

Q4:

理論上,如果計(jì)算網(wǎng)格無限大,不管使用什么格式,對(duì)傳輸方程離散后的數(shù)值解會(huì)和精確解完全一樣。然而,在CFD計(jì)算中我們僅僅使用有限的、非常少的網(wǎng)格來計(jì)算。在這種情況下,要保持解的正確。格式需要具有以下特點(diǎn):守恒性、_____、傳輸特性。

回復(fù)q4至CFD界獲取答案

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