計算區(qū)域和控制方程的離散化方法

2017-01-16 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

首先說一下CFD的基本思想:把原來在時間域及空間域上連續(xù)的物理量的場,如速度場,壓力場等,用一系列有限個離散點上的變量值的集合來代替,通過一定的原則和方式建立起關(guān)于這些離散點上場變量之間關(guān)系的代數(shù)方程組,然后求解代數(shù)方程組獲得場變量的近似值。

然后,我們再討論下這些題目。

離散化的目的: 我們知道描述流體流動及傳熱等物理問題的基本方程為偏微分方程,想要得它們的解析解或者近似解析解,在絕大多數(shù)情況下都是非常困難的,甚至是不可能的,就拿我們熟知的Navier-Stokes方程來說,現(xiàn)在能得到的解析的特解也就70個左右;但為了對這些問題進行研究,我們可以借助于我們已經(jīng)相當成熟的代數(shù)方程組求解方法,因此,離散化的目的簡而言之,就是將連續(xù)的偏微分方程組及其定解條件按照某種方法遵循特定的規(guī)則在計算區(qū)域的離散網(wǎng)格上轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組,以得到連續(xù)系統(tǒng)的離散數(shù)值逼近解。

計算區(qū)域的離散及通常使用的網(wǎng)格: 在對控制方程進行離散之前,我們需要選擇與控制方程離散方法相適應(yīng)的計算區(qū)域離散方法。網(wǎng)格是離散的基礎(chǔ),網(wǎng)格節(jié)點是離散化的物理量的存儲位置,網(wǎng)格在離散過程中起著關(guān)鍵的作用。網(wǎng)格的形式和密度等,對數(shù)值計算結(jié)果有著重要的影響。一般情況下,二維問題,有三角形單元和四邊形,三位問題中,有四面體,六面體,棱錐體,楔形體及多面體單元。網(wǎng)格按照常用的分類方法可以分為:結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,混合網(wǎng)格;也可以分為:單塊網(wǎng)格,分塊網(wǎng)格,重疊網(wǎng)格;等等。上面提到的計算區(qū)域的離散方法要考慮到控制方程的離散方法,比如說:有限差分法只能使用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,有限元和有限體積法可以使用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格也可以使用非結(jié)構(gòu)網(wǎng) 格。

控制方程的離散及其方法:上面已經(jīng)提到了離散化的目的,控制方程的離散就是將主控的偏微分方程組在計算網(wǎng)格上按照特定的方法離散成代數(shù)方程組,用以進行數(shù)值計算。按照應(yīng)變量在計算網(wǎng)格節(jié)點之間的分布假設(shè)及推到離散方程的方法不同,控制方程的離散方法主要有:有限差分法,有限元法,有限體積法,邊界元法,譜方法等等。這里主要介紹最常用的有限差分法,有限元法及有限體積法。(1)有限差分法(Finite Difference Method,簡稱FDM)是數(shù)值方法中最經(jīng)典的方法。它是將求解域劃分為差分網(wǎng)格,用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域,然后將偏微分方程(控制方程)的導(dǎo)數(shù)用差商代替,推導(dǎo)出含有離散點上有限個未知數(shù)的差分方程組。求差分方程組(代數(shù)方程組)的解,就是微分方程定解問題的數(shù)值近似解,這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法。這種方法發(fā)展較早,比較成熟,較多用于求解雙曲型和拋物型問題(發(fā)展型問題)。用它求解邊界條件復(fù)雜,尤其是橢圓型問題不如有限元法或有限體積法方便。(2)有限元法(Finite Element Method,簡稱FEM)與有限差分法都是廣泛應(yīng)用的流體力學(xué)數(shù)值計算方法。有限元法是將一個連續(xù)的求解域任意分成適當形狀的許多微小單元,并于各小單元分片構(gòu)造插值函數(shù),然后根據(jù)極值原理(變分或加權(quán)余量法),將問題的控制方程轉(zhuǎn)化為所有單元上的有限元方程,把總體的極值作為個單元極值之和,即將局部單元總體合成,形成嵌入了指定邊界條件的代數(shù)方程組,求解該方程組就得到各節(jié)點上待求的函數(shù)值。有限元法的基礎(chǔ)是極值原理和劃分插值,它吸收了有限差分法中離散處理的內(nèi)核,又采用了變分計算中選擇逼近函數(shù)并對區(qū)域積分的合理方法,是這兩類方法相互結(jié)合,取長補短發(fā)展的結(jié)果。它具有廣泛的適應(yīng)性,特別適用于幾何及物理條件比較復(fù)雜的問題,而且便于程序的標準化。對橢圓型問題(平衡態(tài)問題)有更好的適應(yīng)性。有限元法因求解速度較有限差分法和有限體積法滿,因此,在商用CFD軟件中應(yīng)用并不普遍,目前的商用CFD軟件中,FIDAP采用的是有限元法。而有限元法目前在固體力學(xué)分析中占絕對比例,幾乎所有的固體力學(xué)分析軟件都是采用有限元法。(3)有限體積法(Finite Volume Method,簡稱FVM)是近年發(fā)展非常迅速的一種離散化方法,其特點是計算效率高。目前在CFD領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其基本思路是:將計算區(qū)域劃分為網(wǎng)格,并使每個網(wǎng)格點周圍有一個互不重復(fù)的控制體積;將待解的微分方程(控制方程)對每一個控制體積分,從而得到一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量,為了求出控制體的積分,必須假定因變量值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律。從積分區(qū)域的選取方法看來,有限體積法屬于加權(quán)余量法中的子域法,從未知解的近似方法看來,有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之,子域法加離散,就是有限體積法的基本方法。

各種離散化方法的區(qū)別:簡短而言,有限元法,將物理量存儲在真實的網(wǎng)格節(jié)點上,將單元看成由周邊節(jié)點及型函數(shù)構(gòu)成的統(tǒng)一體;有限體積法往往是將物理量存儲在網(wǎng)格單元的中心點上,而將單元看成圍繞中心點的控制體積,或者在真實網(wǎng)格節(jié)點上定義和存儲物理量,而在節(jié)點周圍構(gòu)造控制體。

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