數(shù)學(xué)史上的三次危機

2017-10-06 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

數(shù)學(xué)是一門嚴格的科學(xué),但它的發(fā)展從來不是一帆風(fēng)順的。由于人類對自然及自身邏輯認識的局限性,數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的歷史上也曾遭遇過許多類似于出現(xiàn)測量出“黑體輻射”和“電子雙縫干涉實驗”現(xiàn)象后人類無法解釋其原理的危機。本文就帶大家認識數(shù)學(xué)史上的三次最為重大的危機。需要說明的是,每一次危機的出現(xiàn)都意味著科學(xué)的進步。

第一次

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

大約公元前5世紀,不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達哥拉斯悖論。當(dāng)時的畢達哥拉斯學(xué)派重視自然及社會中不變因素的研究,把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為"四藝",在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認為:宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比,畢達哥拉斯學(xué)派的一項重大貢獻是證明了勾股定理,但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比(不可通約)的情形,如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條,導(dǎo)致了當(dāng)時認識上的"危機",從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機。

最后,到了公元前370年,這場危機被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過在幾何學(xué)中引進不可通約量概念而得到解決。他的處理不可通約量的方法,出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。兩個幾何線段,如果存在一個第三線段能同時量盡它們,就稱這兩個線段是可通約的,否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線,就不存在能同時量盡它們的第三線段,因此它們是不可通約的。很顯然,只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制,所謂的數(shù)學(xué)危機也就不復(fù)存在了。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第一次數(shù)學(xué)危機對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大沖擊。這表明,幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān),幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示,反之卻可以由幾何量來表示出來,整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖,而幾何學(xué)的身份升高了。危機也表明,直覺和經(jīng)驗不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開始重視演譯推理,并由此建立了幾何公理體系,這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命!

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第一次數(shù)學(xué)危機表明,當(dāng)時希臘的數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到這樣的階段:

數(shù)學(xué)已由經(jīng)驗科學(xué)變?yōu)檠堇[科學(xué);
把證明引入了數(shù)學(xué);
演繹的思考首先出現(xiàn)在幾何中,而不是在代數(shù)中,使幾何具有更加重要的地位。這種狀態(tài)已知保持到笛卡兒解析幾何的誕生。

中國、埃及、巴比倫、印度等國的數(shù)學(xué)沒有經(jīng)歷這樣的危機,因而一直停留在實驗科學(xué)。即算術(shù)階段。希臘則走上了完全不同的道路,形成了歐幾里得的《幾何原本》與亞里斯多得的邏輯體系, 而成為現(xiàn)代科學(xué)的始祖.在當(dāng)時的所有民族中為什么只有希臘人認為幾何事實必須通過合乎邏輯的論證而不能通過實驗來建立?這個原因被稱為希臘的奧秘。

大約在公元前370年才華橫溢的希臘數(shù)學(xué)家歐多科索斯以及柏拉圖和畢達哥拉斯的學(xué)生阿契塔給出兩個比相等的定義,從而巧妙地消除了這一邏輯上的丑陋.他們給出的定義與所涉及的量是否可公度無關(guān)。其實這也是自然的,因為兩個線段的比本來與第三個線段無關(guān)。當(dāng)然從理論上徹底克服這一危機還有待于現(xiàn)代實數(shù)理論的建立。在實數(shù)理論中,無理數(shù)可以定義為有理數(shù)的極限,這樣又恢復(fù)了畢達哥拉斯的“萬物皆依賴于整數(shù)”的思想。

第二次

無窮小是零嗎?

18世紀,微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用,大部分數(shù)學(xué)家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年,英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進言》,矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題,提出了所謂貝克萊悖論。他指出:"牛頓在求Xn的導(dǎo)數(shù)時,采取了先給x以增量0,應(yīng)用二項式(X+0)n,從中減去Xn以求得增量,并除以0以求出Xn的增量與x的增量之比,然后又讓0消逝,這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設(shè)x有增量,又令增量為零,也即假設(shè)x沒有增量。"他認為無窮小dx既等于零又不等于零,召之即來,揮之即去,這是荒謬,"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零?無窮小及其分析是否合理?由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達一個半世紀的爭論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機。

18世紀的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴密的,直觀的強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是:沒有清楚的無窮小概念,從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚,無窮大概念不清楚,以及發(fā)散級數(shù)求和的任意性,符號的不嚴格使用,不考慮連續(xù)就進行微分,不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。

直到19世紀20年代,一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始,到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束,中間經(jīng)歷了半個多世紀,基本上解決了矛盾,為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴格的基礎(chǔ)。

第一個為補救第二次數(shù)學(xué)危機提出真正有見地的意見的是達朗貝爾。他在1754年指出,必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴謹化的拉格朗日。為了避免使用無窮小推斷和當(dāng)時還不明確的極限概念,拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒式的基礎(chǔ)上。但是,這樣一來,考慮的函數(shù)范圍太窄了,而且不用極限概念也無法討論無窮級數(shù)的收斂問題。所以,拉格朗日的以冪級數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題。

到了十九世紀,出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家,他們積極地為微積分學(xué)的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾。他開始將嚴格的論證引入導(dǎo)數(shù)學(xué)分析重。1816年他在二項展開公式的證明中,明確地提出了級數(shù)收斂的概念。同時對極限、連續(xù)、變量有了較深入的理解。特別是他曾寫出《無窮的悖論》一書,書中包含許多真知灼見。可惜,在他去世兩年后該書才得以出版。

分析學(xué)的奠基人,公認為法國多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家柯西?？挛髟跀?shù)學(xué)分析和置換群理論方面做了開拓性的工作,是最偉大的近代數(shù)學(xué)家之一。他在1821年——1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列基礎(chǔ)概念的精確定義,例如,他給出了精確的極限定義,然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、無窮級數(shù)的收斂性。這些定義基本上就是我們今天微積分課本中使用的定義,不過現(xiàn)在寫得的更加嚴格一點?？挛髟敿毝邢到y(tǒng)地發(fā)展了極限理論?？挛髡J為把無窮小量作為確定的量,即使是零,都說不過去,它會與極限的定義發(fā)生矛盾。無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量,因此本質(zhì)上它是變量,而且是以零為極限的量,至此柯西澄清了前人的無窮小的概念,另外Weistrass創(chuàng)立了極限理論,加上實數(shù)理論,集合論的建立,從而把無窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來,第二次數(shù)學(xué)危機基本解決。

第三次

悖論的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)史上的第三次危機,是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的,到現(xiàn)在,從整體來看,還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支,并且實際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學(xué)的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。

1897年,福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后,康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年,羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論,它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的,它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則:他給所有不給自己刮臉的人刮臉,并且,只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們試圖回答下列疑問時,就認識到了這種情況的悖論性質(zhì):"理發(fā)師是否自己給自己刮臉?"如果他不給自己刮臉,那么他按原則就該為自己刮臉;如果他給自己刮臉,那么他就不符合他的原則。還有大家熟悉的“說謊者悖論”,其大體內(nèi)容是:一個克里特人說:“所有克里特人說的每一句話都是謊話?！痹噯栠@句話是真還是假?從數(shù)學(xué)上來說,這就是羅素悖論的一個具體例子。

羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學(xué)界,號稱天衣無縫,絕對正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后,在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道:"一位科學(xué)家不會碰到比這更難堪的事情了,即在工作完成之時,它的基礎(chǔ)垮掉了,當(dāng)本書等待印出的時候,羅素先生的一封信把我置于這種境地"。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。

在描述羅素悖論之前,我們注意下面的事實:一個集合或者它本身的成員,或者不是它本身的成員。

例如,抽象概念的集合本身是抽象概念,但是,所有人的集合不是一個人;所有集合的集合本身是一個集合,但是,所有星的集合不是一個星。

羅素在該悖論中所定義的集合R,被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢?這是由于R是集合,若R含有自身作為元素,就有R R,那么從集合的角度就有R R。一個集合真包含它自己,這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異于R的元素,又要R與R是相同的,這顯然是不可能的。因此,任何集合都必須遵循R R的基本原則, 否則就是不合法的集合。這樣看來,羅素悖論中所定義的一切R R的集合,就應(yīng)該是一切合法集合的集合,也就是所有集合的集合,這就是同類事物包含所有的同類事物,必會引出最大的這類事物。歸根結(jié)底,R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了,實質(zhì)上,羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。

從此,數(shù)學(xué)家們就開始為這場危機尋找解決的辦法,其中之一是把集合論建立在一組公理之上,以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數(shù)學(xué)家策梅羅,他提出七條公理,建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論,又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進,形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)(即所謂ZF公理系統(tǒng)),這場數(shù)學(xué)危機到此緩和下來。現(xiàn)在,我們通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論,集合是先定義了全集I,空集 ,在經(jīng)過一系列一元和二元運算而得來的。而在七條公理上建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論,使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以發(fā)展。

承認無窮集合,承認無窮基數(shù),就好像一切災(zāi)難都出來了,這就是第三次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除,矛盾可以解決,然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理,簡直難說孰真孰假,可是又不能把它們都消除掉,它們跟整個數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以,第三次危機表面上解決了,實質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。

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