搜索什么是有限元分析?
2013-08-14 by:廣州有限元分析、培訓中心-1CAE.COM 來源:有限元培訓中心
有限元法:把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點處相互連接的單元(子域)所構成,其模型給出基本方程的分片(子域)近似解,由于單元(子域)可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸,所以它能很好地適應復雜的幾何形狀、復雜的材料特性和復雜的邊界條件
有限元模型:它是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。由一些簡單形狀的單元組成,單元之間通過節(jié)點連接,并承受一定載荷。
有限元分析:是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)(幾何和載荷工況)進行模擬。并利用簡單而又相互作用的元素,即單元,就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。
線彈性有限元是以理想彈性體為研究對象的,所考慮的變形建立在小變形假設的基礎上。在這類問題中,材料的應力與應變呈線性關系,滿足廣義胡克定律;應力與應變也是線性關系,線彈性問題可歸結為求解線性方程問題,所以只需要較少的計算時間。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法,也有助于降低有限元分析的時間。
線彈性有限元一般包括線彈性靜力學分析與線彈性動力學分析兩方面。
非線性問題與線彈性問題的區(qū)別:
1)非線性問題的方程是非線性的,一般需要迭代求解;
2)非線性問題不能采用疊加原理;
3)非線性問題不總有一致解,有時甚至沒有解。
有限元求解非線性問題可分為以下三類:
1)材料非線性問題
材料的應力和應變是非線性的,但應力與應變卻很微小,此時應變與位移呈線性關系,這類問題屬于材料的非線性問題。由于從理論上還不能提供能普遍接受的本構關系,所以,一般材料的應力與應變之間的非線性關系要基于試驗數(shù)據(jù),有時非線性材料特性可用數(shù)學模型進行模擬,盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實際中較為重要的材料非線性問題有:非線性彈性(包括分段線彈性)、彈塑性、粘塑性及蠕變等。
2)幾何非線性問題
幾何非線性問題是由于位移之間存在非線性關系引起的。
當物體的位移較大時,應變與位移的關系是非線性關系。研究這類問題一般都是假定材料的應力和應變呈線性關系。它包括大位移大應變及大位移小應變問題。如結構的彈性屈曲問題屬于大位移小應變問題,橡膠部件形成過程為大應變問題。
3)非線性邊界問題
在加工、密封、撞擊等問題中,接觸和摩擦的作用不可忽視,接觸邊界屬于高度非線性邊界。
平時遇到的一些接觸問題,如齒輪傳動、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等,當一個結構與另一個結構或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件。
實際的非線性可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。
有限元法求解問題的基本步驟
1.結構離散化
對整個結構進行離散化,將其分割成若干個單元,單元間彼此通過節(jié)點相連;
2.求出各單元的剛度矩陣[K](e)
[K](e)是由單元節(jié)點位移量{Φ}(e)求單元節(jié)點力向量{F}(e)的轉移矩陣,其關系式為:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e)
3.集成總體剛度矩陣[K]并寫出總體平衡方程:
總體剛度矩陣[K]是由整體節(jié)點位移向量{Φ}求整體節(jié)點力向量 的轉移矩陣,其關系式為{F}= [K] {Φ},此即為總體平衡方程。
4.引入支撐條件,求出各節(jié)點的位移
節(jié)點的支撐條件有兩種:一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為零,另一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為一給定值。
5.求出各單元內的應力和應變。
對于有限元方法,其基本思路和解題步驟可歸納為:
(1)建立積分方程,根據(jù)變分原理或方程余量與權函數(shù)正交化原理,建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式,這是有限元法的出發(fā)點。
(2)區(qū)域單元剖分,根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點,將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作,這部分工作量比較大,除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關系之外,還要表示節(jié)點的位置坐標,同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函數(shù),根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的,由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀,在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。
(4)單元分析:將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近;再將 近似函數(shù)代入積分方程,并對單元區(qū)域進行積分,可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組,稱為單元有限元方程。
(5)總體合成:在得出單元有限元方程之后,將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加,形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件, 一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件,需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程:根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉 方程組,采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解,可求得各節(jié)點的函數(shù)值。
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