Abaqus有限元分析——?jiǎng)恿W(xué)顯式有限元方法

2013-08-14 by:Abaqus軟件應(yīng)用培訓(xùn)中心來源:仿真在線

Abaqus有限元分析——?jiǎng)恿W(xué)顯式有限元方法

這一節(jié)包括ABAQUS/Explicit求解器的算法描述,在隱式和顯式時(shí)間積分之間進(jìn)行比較,并討論了顯式方法的優(yōu)越性。

9.2.1 顯式時(shí)間積分

ABAQUS/Explicit應(yīng)用中心差分方法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行顯示的時(shí)間積分,應(yīng)用一個(gè)增量步的動(dòng)力學(xué)條件計(jì)算下一個(gè)增量步的動(dòng)力學(xué)條件。在增量步開始時(shí),程序求解動(dòng)力學(xué)平衡方程,表示為用節(jié)點(diǎn)質(zhì)量矩陣M乘以節(jié)點(diǎn)加速度等于節(jié)點(diǎn)的合力(在所施加的外力P與單元內(nèi)力I之間的差值):

在當(dāng)前增量步開始時(shí)(t時(shí)刻),計(jì)算加速度為:

由于顯式算法總是采用一個(gè)對(duì)角的、或者集中的質(zhì)量矩陣,所以求解加速度并不復(fù)雜;不必同時(shí)求解聯(lián)立方程。任何節(jié)點(diǎn)的加速度是完全取決于節(jié)點(diǎn)質(zhì)量和作用在節(jié)點(diǎn)上的合力,使得節(jié)點(diǎn)計(jì)算的成本非常低。

對(duì)加速度在時(shí)間上進(jìn)行積分采用中心差分方法,在計(jì)算速度的變化時(shí)假定加速度為常數(shù)。應(yīng)用這個(gè)速度的變化值加上前一個(gè)增量步中點(diǎn)的速度來確定當(dāng)前增量步中點(diǎn)的速度:

速度對(duì)時(shí)間的積分并加上在增量步開始時(shí)的位移以確定增量步結(jié)束時(shí)的位移:

這樣,在增量步開始時(shí)提供了滿足動(dòng)力學(xué)平衡條件的加速度。得到了加速度,在時(shí)間上“顯式地”前推速度和位移。所謂“顯式”是指在增量步結(jié)束時(shí)的狀態(tài)僅依賴于該增量步開始時(shí)的位移、速度和加速度。這種方法精確地積分常值的加速度。為了使該方法產(chǎn)生精確的結(jié)果,時(shí)間增量必須相當(dāng)小,這樣在增量步中加速度幾乎為常數(shù)。由于時(shí)間增量步必須很小,一個(gè)典型的分析需要成千上萬個(gè)增量步。幸運(yùn)的是,因?yàn)椴槐赝瑫r(shí)求解聯(lián)立方程組,所以每一個(gè)增量步的計(jì)算成本很低。大部分的計(jì)算成本消耗在單元的計(jì)算上,以此確定作用在節(jié)點(diǎn)上的單元內(nèi)力。單元的計(jì)算包括確定單元應(yīng)變和應(yīng)用材料本構(gòu)關(guān)系(單元?jiǎng)偠?確定單元應(yīng)力,從而進(jìn)一步地計(jì)算內(nèi)力。

這里給出了顯式動(dòng)力學(xué)方法的總結(jié):

1. 節(jié)點(diǎn)計(jì)算

a. 動(dòng)力學(xué)平衡方程

b. 對(duì)時(shí)間顯式積分

2. 單元計(jì)算

a. 根據(jù)應(yīng)變速率,計(jì)算單元應(yīng)變?cè)隽?

b. 根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計(jì)算應(yīng)力

c. 集成節(jié)點(diǎn)內(nèi)力

3. 設(shè)置時(shí)間 t為,返回到步驟1。

9.2.2 比較隱式和顯式時(shí)間積分程序

對(duì)于隱式和顯式時(shí)間積分程序,都是以所施加的外力P、單元內(nèi)力I和節(jié)點(diǎn)加速度的形式定義平衡:

其中M是質(zhì)量矩陣。兩個(gè)程序求解節(jié)點(diǎn)加速度,并應(yīng)用同樣的單元計(jì)算以獲得單元內(nèi)力。兩個(gè)程序之間最大的不同在于求解節(jié)點(diǎn)加速度的方式上。在隱式程序中,通過直接求解的方法求解一組線性方程組,與應(yīng)用顯式方法節(jié)點(diǎn)計(jì)算的相對(duì)較低成本比較,求解這組方程組的計(jì)算成本要高得多。

在完全Newton迭代求解方法的基礎(chǔ)上,ABAQUS/Standard使用自動(dòng)增量步。在時(shí)刻增量步結(jié)束時(shí),Newton方法尋求滿足動(dòng)力學(xué)平衡方程,并計(jì)算出同一時(shí)刻的位移。由于隱式算法是無條件穩(wěn)定的,所以時(shí)間增量比應(yīng)用于顯式方法的時(shí)間增量相對(duì)地大一些。對(duì)于非線性問題,每一個(gè)典型的增量步需要經(jīng)過幾次迭代才能獲得滿足給定容許誤差的解答。每次Newton迭代都會(huì)得到對(duì)于位移增量的修正值。每次迭代需要求解的一組瞬時(shí)方程為

對(duì)于較大的模型,這是一個(gè)昂貴的計(jì)算過程。有效剛度矩陣是關(guān)于本次迭代的切向剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的線性組合。直到一些量滿足了給定的容許誤差才結(jié)束迭代,如力殘差、位移修正值等。對(duì)于一個(gè)光滑的非線性響應(yīng),Newton方法以二次速率收斂,描述如下:

迭代相對(duì)誤差

1 1

2 10^-2

3 10^-4

. .

然而,如果模型包含高度的非連續(xù)過程,如接觸和滑動(dòng)摩擦,則有可能失去二次收斂,而是可能需要大量的迭代過程。為了滿足平衡條件,減小時(shí)間增量的值可能是必要的。在極端情況下,在隱式分析中的求解時(shí)間增量值可能與在顯式分析中的典型穩(wěn)定時(shí)間增量值在同一量級(jí)上,但是仍然承擔(dān)著隱式迭代的高昂求解成本。在某些情況下,應(yīng)用隱式方法甚至可能不會(huì)收斂。

在隱式分析中,每一次迭代都需要求解大型的線性方程組,這一過程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算資源、磁盤空間和內(nèi)存。對(duì)于大型問題,對(duì)這些方程求解器的需求優(yōu)于對(duì)單元和材料的計(jì)算的需求,對(duì)于在ABAQUS/Explicit中的分析這是類似的。隨著問題尺度的增加,對(duì)方程求解器的需求迅速地增加,因此在實(shí)踐中,隱式分析的最大尺度常常取決于給定計(jì)算機(jī)中的磁盤空間的大小和可用內(nèi)存的數(shù)量,而不是取決于需要的計(jì)算時(shí)間。

9.2.3 顯式時(shí)間積分方法的優(yōu)越性

顯式方法特別地適用于求解高速動(dòng)力學(xué)事件,它需要許多小的時(shí)間增量來獲得高精度的解答。如果事件持續(xù)的時(shí)間是非常短,則可能得到高效率的解答。

在顯式方法中可以很容易地模擬接觸條件和其它一些極度不連續(xù)的情況,并且能夠一個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)地求解而不必迭代。為了平衡在接觸時(shí)的外力和內(nèi)力,可以調(diào)整節(jié)點(diǎn)加速度。

顯式方法最顯著的特點(diǎn)是沒有在隱式方法中所需要的整體切線剛度矩陣。由于是顯式地前推模型的狀態(tài),所以不需要迭代和收斂準(zhǔn)則。

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