Abaqus有限元非線性分析——非線性問題的求解

2013-08-14 by:Abaqus非線性分析研究來源:仿真在線

Abaqus有限元非線性分析——非線性問題的求解

關(guān)于結(jié)構(gòu)的非線性載荷-位移曲線,如圖8-7所示,分析的目標(biāo)是確定其響應(yīng)?？紤]作用在物體上的外部力P和內(nèi)部(節(jié)點)力I,(分別見圖8-8 (a)和圖8-8 (b))。由包含一個節(jié)點的各個單元中的應(yīng)力引起了作用于該節(jié)點上的內(nèi)部力。

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為了使物體處于靜態(tài)平衡,作用在每個節(jié)點上的靜力必須為零。因此,靜態(tài)平衡的基本狀態(tài)是內(nèi)部力I和外部力P必須互相平衡:

ABAQUS/Standard應(yīng)用Newton-Raphson算法獲得非線性問題的解答。在非線性分析中,不能像在線性問題中做的那樣,通過求解單一系統(tǒng)的方程計算求解。而是和增量地施加給定的載荷求解,逐步地獲得最終的解答。因此,ABAQUS/Standard將模擬劃分為一定數(shù)量的載荷增量步(load increments),并在每個載荷增量步結(jié)束時尋求近似的平衡構(gòu)形。對于一個給定的載荷增量步,ABAQUS/Standard通常需要采取若干次迭代才能確定一個可接受的解答。所有這些增量響應(yīng)的總和就是非線性分析的近似解答。因此,為了求解非線性問題,ABAQUS/Standard組合了增量和迭代過程。

通過顯式地從上一個增量步前推出動力學(xué)狀態(tài)而無需進(jìn)行迭代,ABAQUS/Explicit確定了動平衡方程的解答。顯式地求解一個問題,不需要切向剛度矩陣的計算。顯式中心差分算子滿足了在增量步開始時刻t的動力學(xué)平衡方程;利用在時刻t計算的加速度,前推出在時刻的速度解答和在時刻的位移解答。對于線性和非線性問題是相似的,顯式方法都需要一個小的時間增量步,它只依賴于模型的最高階自振頻率,而是與載荷的類型和加載時間無關(guān)。典型的模擬需要大量的增量步;然而事實上,由于在每個增量步中無需求解全體方程的集合,所以每一個增量步的計算成本,顯式方法比隱式方法要小得多。正是顯式動態(tài)方法的小增量步特點,使得ABAQUS/Explicit非常適合于非線性分析。

8.2.1 分析步、增量步和迭代步

本節(jié)將引入一些新詞匯以描述分析過程的不同部分。清楚地理解在分析步(step)、載荷增量步(load increment)和迭代步(iteration)相互之間的區(qū)別是很重要的。

l 模擬計算的加載歷史包含一個或多個步驟。你定義的分析步,一般地包括一個分析過程選項、載荷選項和輸出要求選項。在每個分析步可以應(yīng)用不同的載荷、邊界條件、分析過程選項和輸出要求。例如:

l 步驟一:在剛性夾具上夾持板材。

l 步驟二:加載使板材變形。

l 步驟三:確定已變形板材的固有頻率。

l         增量步是分析步的一部分。在非線性分析中,施加在一個分析步中的總載荷被分解成更小的增量步,這樣就可以按照非線性求解步驟進(jìn)行計算。
    在ABAQUS/Standard中,你可以建議第一個增量步的大小。ABAQUS/Standard會自動地選擇后繼增量步的大小。在ABAQUS/Explicit中,時間增量步是完全地自動默認(rèn)的,而無需用戶干預(yù)。由于顯式方法是條件穩(wěn)定的,對于時間增量步具有穩(wěn)定極限值。在第9章“非線性顯式動態(tài)分析”中將討論穩(wěn)定時間增量。
    在每個增量步結(jié)束時,結(jié)構(gòu)是處于(近似的)平衡狀態(tài),并且可以將結(jié)果寫入輸出數(shù)據(jù)庫、重啟動、數(shù)據(jù)、或者結(jié)果文件中。如果選擇在某一增量步將計算結(jié)果寫入輸出數(shù)據(jù)庫文件,這個增量步稱為畫框(frames)。

l 在ABAQUS/Standard和在ABAQUS/Explicit的分析中,與時間增量有關(guān)的問題是非常不同的,原因是在ABAQUS/Explicit中的時間增量通常是更小一些。

l 當(dāng)采用隱式方法求解時,迭代步是在一個增量步中尋找平衡解答的一次試探。在迭代結(jié)束時,如果模型不是處于平衡狀態(tài),ABAQUS/Standard將進(jìn)行新一輪迭代。經(jīng)過每一次迭代,ABAQUS/Standard獲得的解答應(yīng)當(dāng)是更加接近于平衡狀態(tài);有時ABAQUS/Standard可能需要許多次迭代才能得到平衡解答。當(dāng)已經(jīng)獲得了平衡解答,增量步即告完成。僅當(dāng)一個增量步結(jié)束時才能輸出所需要的結(jié)果。

l 在一個增量步中,ABAQUS/Explicit無需迭代即可獲得解答。

8.2.2 ABAQUS/Standard中的平衡迭代和收斂

對于一個小的載荷增量DP,結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)如圖8-9所示。ABAQUS/Standard應(yīng)用基于結(jié)構(gòu)初始構(gòu)形u₀的結(jié)構(gòu)初始剛度K₀,和DP計算關(guān)于結(jié)構(gòu)的位移修正值(displacement correction)c_a。利用c_a將結(jié)構(gòu)的構(gòu)形更新為u_a。

收斂性(convergence)

ABAQUS/Standard基于結(jié)構(gòu)更新的構(gòu)形u_a,形成了新的剛度K_a。也利用更新的構(gòu)形,ABAQUS/Standard計算內(nèi)部作用力I_a。現(xiàn)在可以計算在所施加的總載荷P和I_a之間的差為:

其中R_a是對于迭代的殘差力(force residual)。

如果R_a在模型中的每個自由度上均為零,在圖8-9中的a點將位于載荷-撓度曲線上,并且結(jié)構(gòu)將處于平衡狀態(tài)。在非線性問題中,幾乎不可能使R_a等于零,因此,ABAQUS/Standard將R_a與一個容許值進(jìn)行比較。如果R_a是小于這個殘差力容許值,ABAQUS/Standard就接受結(jié)構(gòu)的更新構(gòu)形作為平衡的結(jié)果。默認(rèn)的容許值設(shè)置為在整個時間段上作用在結(jié)構(gòu)上的平均力的0.5%。在整個模擬過程中,ABAQUS/Standard自動地計算這個在空間和時間上的平均力。

如果R_a是比目前的容許值小,認(rèn)為P和I_a是處于平衡狀態(tài),而u_a就是結(jié)構(gòu)在所施加載荷下有效的平衡構(gòu)形。但是,在ABAQUS/Standard接受這個結(jié)果之前,還要檢查位移修正值c_a是否相對小于總的增量位移,Du_a=u_a-u₀。若c_a是大于增量位移的1%,ABAQUS/Standard將再進(jìn)行一次迭代。只有這兩個收斂性檢查都得到滿足,才認(rèn)為此載荷增量下的解是收斂的。上述收斂判斷規(guī)則有一個例外,即所謂線性增量情況。若增量步內(nèi)最大的作用力殘差是小于時間上的平均力乘以10^-8的任何增量步,將其定義為線性增量。任何采用時間上平均力的情況,凡是通過了如此嚴(yán)格的最大作用力殘差的比較,即被認(rèn)為是線性的并不需要進(jìn)一步的迭代,其位移修正值的解答無需進(jìn)行任何檢查即認(rèn)為是可接受的。

如果迭代的結(jié)果不收斂,ABAQUS/Standard進(jìn)行下一次迭代以試圖使內(nèi)部和外部的力達(dá)到平衡。第二次迭代采用前面迭代結(jié)束時計算得到的剛度K_a,并與R_a共同來確定另一個位移修正值c_b,使得系統(tǒng)更加接近于平衡狀態(tài)(見在圖8-10中的點b)。

ABAQUS/Standard應(yīng)用來自結(jié)構(gòu)新的構(gòu)形u_b的內(nèi)部作用力計算新的作用力殘值R_b,再次將在任何自由度上的最大作用力殘差值R_b與作用力容許殘差值進(jìn)行比較,并將第二次迭代的位移修正值c_b與位移增量值Du_b=u_b– u₀進(jìn)行比較。如果需要,ABAQUS/Standard將做進(jìn)一步的迭代。

對于在非線性分析中的每次迭代,ABAQUS/Standard形成模型的剛度矩陣,并求解系統(tǒng)的方程組。為了進(jìn)行一次完整的線性分析,在計算成本上,這意味著每次迭代都是等價的?，F(xiàn)在必須非常清楚,在ABAQUS/Standard中的非線性分析的計算費用可能比線性分析遠(yuǎn)高許多倍。

應(yīng)用ABAQUS/Standard可以在每一個收斂的增量步保存結(jié)果。所以,對于同一個幾何構(gòu)型,來自非線性模擬計算的輸出數(shù)據(jù)量是來自線性分析數(shù)據(jù)量的許多倍。在規(guī)劃你的計算機資源時,需要考慮這些因素和你所要進(jìn)行的非線性模擬計算的類型。

8.2.3 ABAQUS/Standard中的自動增量控制

ABAQUS/Standard自動地調(diào)整載荷增量步的大小,因此它能便捷而有效地求解非線性問題。用戶只需在每個分析步模擬中給出第一個增量步的值,然后,ABAQUS/Standard自動地調(diào)整后續(xù)增量步的值。如果用戶未提供初始增量步的值,ABAQUS/Standard會試圖將該分析步中所定義的全部載荷施加在第一個增量步中。在高度非線性的問題中,ABAQUS/Standard不得不反復(fù)減小增量步,從而導(dǎo)致占用了CPU時間。一般來說,提供一個合理的初始增量步的值會有利于問題的求解(例如,見第8.4.1節(jié)“修改模型”);只有在很平緩的非線性問題中才可能將分析步中的所有載荷施加于單一增量步中。

對于一個載荷增量,得到收斂解所需要的迭代步數(shù)量的變化取決于系統(tǒng)的非線性程度。在默認(rèn)情況下,如果經(jīng)過16次迭代的解仍不能收斂或者結(jié)果顯示出發(fā)散,ABAQUS/Standard放棄當(dāng)前增量步,并將增量步的值設(shè)置為原來值的25%,重新開始計算。利用比較小的載荷增量來嘗試找到收斂的解答。若此增量仍不能使其收斂,ABAQUS/Standard將再次減小增量步的值。在中止分析之前,ABAQUS/Standard默認(rèn)地允許至多五次減小增量步的值。

如果增量步在少于五次迭代時就達(dá)到了收斂,這表明相當(dāng)容易地得到了解答。因此,如果連續(xù)兩個增量步都只需少于五次的迭代就可以得到收斂解,ABAQUS/Standard會自動地將增量步的值提高50%。

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