對(duì)于顯式與隱式有限元的理解

2017-05-08  by:CAE仿真在線(xiàn)  來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

基于動(dòng)力學(xué)方程,因此無(wú)需迭代;而靜態(tài)隱式算法基于虛功原理,一般需要迭代計(jì)算。顯式算法,最大優(yōu)點(diǎn)是有較好的穩(wěn)定性。
動(dòng)態(tài)顯式算法采用動(dòng)力學(xué)方程的一些差分格式(如廣泛使用的中心差分法、線(xiàn)性加速度法、Newmark法和wilson法等),不用直接求解切線(xiàn)剛度,不需要進(jìn)行平衡迭代,計(jì)算速度快,時(shí)間步長(zhǎng)只要取的足夠小,一般不存在收斂性問(wèn)題。因此需要的內(nèi)存也比隱式算法要少。并且數(shù)值計(jì)算過(guò)程可以很容易地進(jìn)行并行計(jì)算,程序編制也相對(duì)簡(jiǎn)單。但顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣,而且只有在單元級(jí)計(jì)算盡可能少時(shí)速度優(yōu)勢(shì)才能發(fā)揮,因而往往采用減縮積分方法,容易激發(fā)沙漏模式,影響應(yīng)力和應(yīng)變的計(jì)算精度。
靜態(tài)顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler向前差分法,不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿(mǎn)足,所以得出的結(jié)果會(huì)慢慢偏離正確值。為了減少相關(guān)誤差,必須每步使用很小的增量。

隱式算法中,在每一增量步內(nèi)都需要對(duì)靜態(tài)平衡方程進(jìn)行迭代求解,并且每次迭代都需要求解大型的線(xiàn)性方程組,這以過(guò)程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算資源、磁盤(pán)空間和內(nèi)存。該算法中的增量步可以比較大,至少可以比顯式算法大得多,但是實(shí)際運(yùn)算中上要受到迭代次數(shù)及非線(xiàn)性程度的限制,需要取一個(gè)合理值。

使用顯式方法,計(jì)算成本消耗與單元數(shù)量成正比,并且大致與最小單元的尺寸成反比,應(yīng)用隱式方法,經(jīng)驗(yàn)表明對(duì)于許多問(wèn)題的計(jì)算成本大致與自由度數(shù)目的平方成正比,因此如果網(wǎng)格是相對(duì)均勻的,隨著模型尺寸的增長(zhǎng),顯式方法表明比隱式方法更加節(jié)省計(jì)算成本。

a)在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),將方程在空間上采用有限元法(或其他方法)進(jìn)行離散后,變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探MF=M(u)+C(u)+K(u)。求解這種方程的其中兩種方法為,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被稱(chēng)為顯式算法,采用Newmark法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被稱(chēng)為隱式算法。
b)在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),離散元法(也有其他方法)主要有兩種思想:動(dòng)態(tài)松弛法(向后時(shí)步迭代),靜態(tài)松弛法(每一步要平衡)。動(dòng)態(tài)松弛法是顯式算法,靜態(tài)松弛法是隱式算法。其中沖壓成型就是動(dòng)態(tài)松弛法的主要例子。
c)在求解靜力學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)候?qū)⑵淇醋鲃?dòng)力學(xué)問(wèn)題來(lái)處理而采用動(dòng)態(tài)松弛法,這是顯式算法。Flac就是主要例子。

四、總結(jié):

1)求解線(xiàn)性靜力學(xué)問(wèn)題,雖然求解線(xiàn)性方程組,但是沒(méi)有時(shí)步的關(guān)系,所以不應(yīng)將其看作隱式算法。

2)求解非線(xiàn)性靜力學(xué)問(wèn)題,雖然求解過(guò)程需要迭代,或者是增量法,但是沒(méi)有明顯的時(shí)步問(wèn)題,所以不應(yīng)將其看作隱式算法。

3)靜態(tài)松弛法,可以認(rèn)為是將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題看作靜力學(xué)問(wèn)題來(lái)解決,每一步達(dá)到靜力平衡,需要數(shù)值阻尼。

4)動(dòng)態(tài)松弛法,可以認(rèn)為是將靜力學(xué)問(wèn)題或者動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,分為時(shí)步動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,采用向后時(shí)步迭代的思想計(jì)算。對(duì)于解決靜力學(xué)問(wèn)題時(shí),需要人工阻尼。

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