物理場(chǎng)的求解方法概述【轉(zhuǎn)發(fā)】

從哲學(xué)的角度講,結(jié)構(gòu)及其相互作用的矛盾構(gòu)成了世界發(fā)展的根本原因。從物理學(xué)的角度來(lái)說(shuō),結(jié)構(gòu)和相互作用被譯為物質(zhì)和場(chǎng)。所以,場(chǎng)就是物質(zhì)之間的相互作用。物理學(xué)上所談的場(chǎng)包括引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)、核場(chǎng)和弱場(chǎng)。場(chǎng)的相互作用是通過(guò)交換量子而實(shí)現(xiàn)的,現(xiàn)在所發(fā)現(xiàn)的量子有:光子和8種核場(chǎng)量子。工程應(yīng)用所談的場(chǎng)的與上述概念略有不同,它主要從實(shí)用而非量子角度來(lái)談場(chǎng),如結(jié)構(gòu)場(chǎng)、流場(chǎng)、聲場(chǎng)、濃度場(chǎng)、溫度場(chǎng)、靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒磁場(chǎng)和電磁場(chǎng)等。

要研究場(chǎng),必須首先建立其數(shù)學(xué)模型。雖然對(duì)各個(gè)場(chǎng)的研究劃歸到不同的學(xué)科,但是所有學(xué)科基本上采取了相似的建模方法:微元分析法。該法從研究對(duì)象中選取一個(gè)微元(通常是無(wú)限小的立方體)為對(duì)象,列出微元6個(gè)面上和體內(nèi)的物理量,根據(jù)能量守恒定律、質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量定理等學(xué)科內(nèi)的特定規(guī)律列方程,得到一個(gè)或一個(gè)以上的偏微分方程。由于時(shí)間和空間是場(chǎng)的存在形式,因此該方程一般是以時(shí)間和空間為自變量,以所研究場(chǎng)變量為因變量的偏微分方程。一般而言,在固體力學(xué)領(lǐng)域,得到的是平衡方程(或動(dòng)力方程)、物理方程和幾何方程;在流體力學(xué)領(lǐng)域,是質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量方程和能量方程;在傳熱學(xué)領(lǐng)域,是導(dǎo)熱方程;在電磁場(chǎng)領(lǐng)域,是麥克斯韋方程組。

對(duì)于這類問(wèn)題主要存在四種解法:解析法、半解析法、數(shù)值法和實(shí)驗(yàn)法。解析法十分精確可靠,但是只能求解比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題;數(shù)值法充分利用計(jì)算機(jī)的特點(diǎn),對(duì)一個(gè)問(wèn)題從空間和時(shí)間上進(jìn)行離散,理論上可以求解任意復(fù)雜的問(wèn)題,但是計(jì)算量很大;半解析法一般對(duì)控制方程進(jìn)行近似,再采用數(shù)值分析方法得到控制方程中的待定系數(shù),比數(shù)值法求解速度更快,不過(guò)只針對(duì)某些簡(jiǎn)單的問(wèn)題有效;試驗(yàn)法主要用于對(duì)象復(fù)雜的灰箱或黑箱系統(tǒng),是理論分析和數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ),但是花費(fèi)昂貴,周期長(zhǎng)而且受到模型尺寸、測(cè)量精度等的制約。對(duì)于邊界條件或形體復(fù)雜的實(shí)際工程領(lǐng)域,用得比較多是數(shù)值法。

數(shù)值法又分為兩類:有網(wǎng)格法和無(wú)網(wǎng)格法。根據(jù)網(wǎng)格劃分的方式,有網(wǎng)格法又進(jìn)一步分為加權(quán)余量法、有限元法、邊界元法、有限差分法和有限體積法?；诰W(wǎng)格的方法其數(shù)學(xué)原理各不相同,但是求解過(guò)程都分為兩個(gè)階段:離散化階段和代數(shù)方程組的求解階段。在離散化階段,用網(wǎng)格線將連續(xù)的定解域化分為有限個(gè)結(jié)點(diǎn)集,選取適當(dāng)?shù)耐緩綄⑽⒎址匠碳捌涠ń鈼l件轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上相應(yīng)的代數(shù)方程組,即建立代數(shù)方程組。然后使用計(jì)算機(jī)求解代數(shù)方程組,得到結(jié)點(diǎn)上的離散近似解。結(jié)點(diǎn)之間的近似解,一般認(rèn)為光滑變化,原則上可以應(yīng)用插值方法確定,從而得到定解問(wèn)題在整個(gè)定解區(qū)域上的近似解。

有限差分法是最早采用的數(shù)值方法。它將求解區(qū)域分為矩形或正交曲線網(wǎng)格,在網(wǎng)格線交點(diǎn)(即結(jié)點(diǎn)上),將控制方程中的每一個(gè)微商用差商來(lái)代替,從而將連續(xù)函數(shù)的微分方程離散為網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上定義的差分方程,每個(gè)方程中包含了本結(jié)點(diǎn)及其附近一些結(jié)點(diǎn)上的待求函數(shù)值,通過(guò)求解這些代數(shù)方程就可獲得所需的數(shù)值解。

有限元法是目前發(fā)展最為成熟的一種數(shù)值方法。該方法將求解域剖分成相連結(jié)又互不重疊的具有一定規(guī)則幾何形狀的有限個(gè)子區(qū)域,這些子區(qū)域稱為單元,單元之間以結(jié)點(diǎn)相聯(lián)結(jié)。函數(shù)值被定義在結(jié)點(diǎn)上,在單元中選擇插值函數(shù),以結(jié)點(diǎn)函數(shù)值與基函數(shù)的乘積的線性組合成單元的近似解來(lái)逼近單元中的真解。利用某種方法建立單元方程,然后組裝成為總體的有限元方程,接著考慮邊界條件進(jìn)行求解。

邊界元法是在經(jīng)典積分方程和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的求解微分方程的數(shù)值方法。其基本思想是:將微分方程相應(yīng)的基本解作為權(quán)函數(shù),應(yīng)用加權(quán)余量法并應(yīng)用格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)聯(lián)系解域中待求函數(shù)值與邊界上的函數(shù)值與法向?qū)?shù)值之間關(guān)系的積分方程,令積分方程在邊界上成立獲得邊界積分方程,然后把邊界離散化,建立邊界元代數(shù)方程組,求解后可獲得邊界上全部結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和法向?qū)?shù)值,將全部邊界值代入積分方程中,即可獲得內(nèi)點(diǎn)函數(shù)值。

有限體積法又稱為控制體積法,其基本思路是:將計(jì)算區(qū)域化分為網(wǎng)格,并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)互不重疊的控制體積,將待解微分方程對(duì)每一個(gè)控制體積積分,從而得出一組離散方程。然后求解此離散方程,得到網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的值。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及,上述基于網(wǎng)格的方法在過(guò)去幾十年內(nèi)得到了長(zhǎng)足的發(fā)展,但是這些基于網(wǎng)格的方法時(shí)在使用時(shí)也遇到了一些問(wèn)題,如結(jié)構(gòu)大變形問(wèn)題,對(duì)結(jié)構(gòu)破壞過(guò)程的仿真,對(duì)新材料性能的分析和模擬,應(yīng)力高梯度和瞬態(tài)動(dòng)力問(wèn)題等。而且,基于網(wǎng)格的方法如果在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)網(wǎng)格畸變,則導(dǎo)致計(jì)算失效。為了處理大變形或隨時(shí)間變化的不連續(xù)性,需要重新進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)。為了解決這種問(wèn)題,出現(xiàn)了無(wú)網(wǎng)格數(shù)值計(jì)算方法(Meshless Method),該方法拋棄了網(wǎng)格,直接基于結(jié)點(diǎn)形成近似,在特定領(lǐng)域內(nèi)具有重要的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用前景。

目前已經(jīng)提出十余種無(wú)網(wǎng)格方法,各種無(wú)網(wǎng)格方法之間的區(qū)別主要在于所使用的試函數(shù)(如移動(dòng)最小二乘近似,重構(gòu)核函數(shù)近似,單位分解法,徑向基函數(shù)法,點(diǎn)插值法等)和微分方程的等效形式(如迦遼金法,配點(diǎn)法,最小二乘法等)。建立近似函數(shù)時(shí)不借助于網(wǎng)格,基于函數(shù)逼近近似而非插值是無(wú)網(wǎng)格法有限元法的主要區(qū)別。采用定義在離散結(jié)點(diǎn)上具有緊支特性的函數(shù)來(lái)構(gòu)造近似函數(shù),而不用定義在全域上的級(jí)數(shù)展開(kāi)形式是無(wú)網(wǎng)格法與經(jīng)典加權(quán)殘量法的主要區(qū)別。

轉(zhuǎn)自公眾號(hào):宋博士 ANSYS學(xué)習(xí)與應(yīng)用