三環(huán)減速器建模動態(tài)特性有限元分析計算

2016-03-12 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

引言
對三環(huán)減速器振動系統(tǒng)進行振動與噪聲的分析與研究,首先必須建立其數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型有理論建模和試驗建模兩類。所謂的理論建模是指由結(jié)構(gòu)、機械的設(shè)計圖紙出發(fā),作出必要的假定與簡化,根據(jù)力學(xué)原理建模;而試驗建模是對振動系統(tǒng)進行激振,通過沒量獲得系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù),再經(jīng)過對它們的分析、處理而建立的模型。這兩類方法各有其特點,可分別適用于自己特點的情況。在此,我們僅討論對三環(huán)減速器振動系統(tǒng)進行理論建模,并在SUN工作站上用I-DEAS軟件的有限元模塊及實體建模模塊對SHQ40建模并計算,而試驗建模我們將在第六章中討論。
3-2 描述振動系統(tǒng)的方法
振動系統(tǒng)有確定性和隨機系統(tǒng)兩大類,在這里,我們主要討論確定性振動系統(tǒng)。確定性振動系統(tǒng)通常分為分布參數(shù)振動系統(tǒng)和離散振動兩大類,不同的振動系統(tǒng)存在其相應(yīng)的描述方法。
3-2.1 分布能數(shù)振動系統(tǒng)

具有分布質(zhì)量、彈性和阻尼的系統(tǒng),稱為分布參數(shù)或連續(xù)參數(shù)系統(tǒng)。在域D的每一點都應(yīng)滿足如下的運動微分方程。

式中:U(p,t)——任意點p的位移,它應(yīng)滿足的邊界條件是:
B,[u(p,t)]=0,(i=0,1,2……,p);
L—一個線性的2P階齊次數(shù)微分算子,它描述了系統(tǒng)的剛度分布;
C—一個類似于算子L的2P階線性齊次數(shù)分算子,它描述了系統(tǒng)的阻尼分布;
M—線性齊次微分算子,它描述了系統(tǒng)的質(zhì)量分布;

f(p,t)——分布激振力;

A1,A2……——坐標(biāo)x,y,z的函數(shù);

x,y,z——p點的坐標(biāo),即p(x,y,z);

B1——線性齊次微分算子;

由式(3.1)可知,分布參數(shù)系統(tǒng)的運動是以偏微分方程來描述的,這類運動方程中所包含的參數(shù),通常是空間變量的連續(xù)函數(shù)。分布參數(shù)系統(tǒng)具有無限多個自由度。所以,與一個分布參數(shù)系統(tǒng)相對應(yīng)的特征解是由可數(shù)的然而是無限多個特征值和特征向量組成。
為了獲得可靠的、精確的分布參系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,就需精確地確定運動方程中的各個參數(shù)。為此,利用如上述的試驗建模方法——振動參數(shù)識別技術(shù)是一個有效的方法。通常,分布參數(shù)振動系統(tǒng)的參數(shù)識別方法有:(1)將分布參數(shù)系統(tǒng)離散化,獲得離散系統(tǒng)的模型,然后識別離散模型中的參數(shù)或與它相應(yīng)的特征解;(2)直接以從布參數(shù)系統(tǒng)的響應(yīng)識別分布參數(shù)系統(tǒng)運動微分方程中的各參數(shù);(3)首先識別與實際分布參數(shù)系統(tǒng)相應(yīng)的離散模型的特征解,然后,利用識別的特征解來識別方程中的各個參數(shù)。

一個分布參數(shù)系統(tǒng)有無限多個的特征值與特征的向量。但是,人們不可能識別完全的特征解,通常是識別與該系統(tǒng)相應(yīng)的低階特征值和特征向量。此外,目前的技術(shù)水平還不能滿足分布式測量的要求,因此,其識別工作還得借助于離散式測量來完成。

3-2.2 離散振動系統(tǒng)
分布參數(shù)系統(tǒng)是一個非常復(fù)雜的系統(tǒng),它給振動分析和振動參數(shù)識別帶來了很大困難,主要表現(xiàn)在:(1)系統(tǒng)的慣性、彈性、阻尼、激勵力和運動都依賴于空間坐標(biāo),因而導(dǎo)致數(shù)學(xué)上較難處理的偏微分方程及復(fù)雜的邊界條件。因此,一般情況下,除了少量的簡單結(jié)構(gòu)外,很難獲得嚴(yán)格的封閉形式的解;(2)不可能獲得分布的響應(yīng)測量及無限多個特征解。因而,實際作振動分析、振動參數(shù)識別時,通常將無限多個自由度的分布參數(shù)系統(tǒng)離散為有限自由度的離散振動系統(tǒng)。把分布參數(shù)系統(tǒng)離散化一般有以下幾種方法:
一、集中質(zhì)量法
把結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分別集中在若干點而形成有限個質(zhì)點的集中參數(shù)系統(tǒng)。質(zhì)量元件、彈性元件和阻尼元件分別只有慣性、彈性和阻尼特性;
二、廣義坐標(biāo)法
把結(jié)構(gòu)的變形分解為一系列具有固定形式的函數(shù),而以廣義坐標(biāo)表示結(jié)構(gòu)的變形。這種方法,雖然理論上需要考慮無限多項,但實際上只要考慮有限幾項即可獲得具有足夠精度的計算結(jié)果。如瑞利—里茲法、模態(tài)坐標(biāo)法等。
三、有限元法

可以哈密頓原理導(dǎo)出的拉格朗日方程,導(dǎo)出離散振動系統(tǒng)的一般運動微分方程式:

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上式中:M——質(zhì)量矩陣,正定矩陣;
C——粘性阻尼矩陣,實對稱正定式或半正定短陣;
D——結(jié)構(gòu)阻尼矩陣,實對稱正定式或半正定短陣;
K——剛度矩陣,實對稱正定式或半定矩陣;

G=-GT——陀螺矩陣,反對稱矩陣;

H=-HT——循環(huán)矩陣,反對稱矩陣;

f(t)——激勵力矩陣;

對于無源系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)作任一運動時,D就再出現(xiàn),當(dāng)振動系統(tǒng)中存在傳遞功率的曲柄、軸、滑動與裝置時,常形成陀螺效應(yīng)和循環(huán)力,這時系統(tǒng)就成為有源系統(tǒng)。
3-2.3 離散振動系統(tǒng)實模態(tài)坐標(biāo)描述
僅討論無阻尼離散振動系統(tǒng),無阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程由式(3.5)確定為:

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求解上式得特征值,即得離散振動系統(tǒng)的固有頻率ω,然后將ω代入式(3.8)就可能解出固有振型矩陣 ф,則由ω、ф就構(gòu)成了振動系統(tǒng)固有模態(tài)參數(shù)。由于各階固有振型ф,具有加權(quán)正交性質(zhì),且又是線性獨立的,那么就可由固有振型ф構(gòu)成一個n維空間的完備的正交基,作為一個新坐標(biāo)系,稱之為固有模態(tài)坐標(biāo)系。于是對應(yīng)于原物理坐標(biāo)系的任一向量x(t),在n維空間中,可表示n階固有振型的線性組合,即:

式中q——模態(tài)位移向量;

將式(3.10)代入式(3.5),再以φT前乘可得:

由上式可知:在實模態(tài)坐標(biāo)系里,用物理坐標(biāo)系描述的運動微分方程,變成n個獨立互不耦合的動運微分方程。解式(3.11)可確定q,再由式(3.10)可確定物理坐標(biāo)系下的響應(yīng)X(t)。式(3.10)是物理坐標(biāo)系和固有模態(tài)和固有模態(tài)坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換的重要關(guān)系式。
§3-3 三環(huán)減速器振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
根據(jù)三環(huán)減速器的結(jié)構(gòu)原理,如圖2-3(a)(b)和圖2-4(a)(b)所示。我們將其振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立如圖3-0所示。

圖3-0 三環(huán)減速器振動系統(tǒng)教學(xué)模型

該模型由Ⅰ、Ⅱ兩個子模型組成,其中Ⅰ子模型為傳動鏈及其附件部分,Ⅱ子模型為箱體部分。Ⅰ、Ⅱ子模型間通過軸與軸承在a、b、c、d、e、f處緊密聯(lián)接而構(gòu)成三環(huán)減速器振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。
Ⅰ、Ⅱ子模型振動系統(tǒng)都是由分布參數(shù)振動系統(tǒng),它們實際的數(shù)學(xué)模型應(yīng)曲式(3.1)來描述,但在實際作振動分析、振動參數(shù)識別時,我們將Ⅰ、Ⅱ兩個子模型都作為離散振動系統(tǒng)來考慮,即由式(3.2)~(3.6)來確定其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。
一、Ⅰ子模型振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
由圖2-2、圖2-3(a)(b)及圖3-0分析知,Ⅰ子模型主要為傳動鏈及其附件,用于傳遞系統(tǒng)的運動和動力,分析其傳動結(jié)構(gòu)及原理,根據(jù)式(3.2)可得Ⅰ子模型的數(shù)學(xué)模型為:

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Krθ——軸、環(huán)板彈性矩;

Krθθ——各聯(lián)接處彈性矩;

Kgθθ——輪齒彈性矩;

Mgg——由齒形識別差引起的力矩;

Mgf——由齒面摩擦力引起的力矩;

Mrf——各聯(lián)接處的摩擦力矩;

Mb——軸承非線性剛度引起的彈性矩;

MD——傳動鏈中軸承阻尼力;

Mx——雙曲柄機構(gòu)額外沖擊力矩;

M——外界激勵力矩;
式中Mx的成因及其對Ⅰ子模造成的影響在第二章中已有論述。
二、Ⅱ子模型振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
由圖2-2、圖2-3(a)(b)及其圖3-0分析知,Ⅱ子模型為箱體結(jié)構(gòu),顯然Ⅱ子模型為無源振動系統(tǒng),故可根據(jù)式(3.2)、(3.3)、(3.4)、(3.5)知其數(shù)學(xué)模型為

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Kx——彈性力;
F(t)——外界激勵力;
三、Ⅰ、Ⅱ子模型間關(guān)系
由圖3-0所知,Ⅰ、Ⅱ子模型間在a、b、c、d、e、f處緊密相連,Ⅱ的外界激勵力F(t)就是由Ⅰ通過a、b、c、d、e、f處作用于Ⅱ子模型而引起的,通過對Ⅰ子模型進行分析可計算出Ⅰ對Ⅱ的激勵力F(t),將F(t)代入Ⅱ的式(3.13),就可對Ⅱ子模型進行動態(tài)特性的分析計算。
F(t)主要同Mgg、Mgr、Mrg、Mrf、Mb、MD、Mx等組成,在本研究中,我們用試驗的方法來確定F(t)的大小,見第四章。

從上述分析中可知,在三環(huán)減速器振動系統(tǒng)中,Ⅰ子模型是產(chǎn)生振動和噪聲的根源地,Ⅱ子模型是振動與噪聲傳播體。在第二章中,我們已分析了Ⅰ子模型產(chǎn)生振動、噪聲激勵的原因,在本章中我們僅討論Ⅱ子模型受激后的振動與噪聲問題。
§3-4 三環(huán)減速器箱體理論建模和有限元(FEM)法分析
§3-4.1 殼體結(jié)構(gòu)
所謂的殼體結(jié)構(gòu)定義為在兩個具有小間距的以曲雙面之間的密閉式體。這兩個曲面間的距離,就是殼體結(jié)構(gòu)的厚度。如果厚度與結(jié)合面的外廓尺寸相比很小的話,那么這個殼體就定義為薄殼結(jié)構(gòu);反之則為厚殼結(jié)構(gòu)。殼體結(jié)構(gòu)實質(zhì)上是一種可由薄板轉(zhuǎn)化而來的結(jié)構(gòu),其法是非曲是一開始就將中面做成單曲(或雙曲)的曲。雖然關(guān)于應(yīng)力和應(yīng)變沿橫向分布的假設(shè)仍然成立,殼體承受外載荷的方法卻與平板完全不同。平行殼體中面作用的應(yīng)力合力現(xiàn)在產(chǎn)生曲面法方向的分量,并且這一應(yīng)力合力平衡了載荷的大部分。這就是殼體作為承載結(jié)構(gòu)比較經(jīng) 濟而且受到廣泛應(yīng)用的原因。
廣泛應(yīng)用于工業(yè)中的齒輪傳動裝置的箱體結(jié)構(gòu),根據(jù)使用場合的不同,有的就可以作為殼體結(jié)構(gòu)來處理,并且一般箱體的材料都是均質(zhì)、名向同性和完全彈性的(在一定范圍內(nèi)),這樣就更利于對箱體的特性理行分析計算。
本研究中的SHQ40型三環(huán)減速器如圖6-4(a)(b)及圖3-1所示,其箱體的長寬高尺寸分別為708mm,147mm和385mm,厚度僅為8mm,所以在這里我們將其作為薄殼結(jié)構(gòu)來進行研究,以分析其動態(tài)特性。

圖3-1 SHQ40箱體尺寸圖

§3-4.2 三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu)有限元(FEM)法理論分析
對于三環(huán)減速器箱體,即Ⅱ子模型振動系統(tǒng),它實質(zhì)上是一個連續(xù)的振動系統(tǒng),我們必須將其離散化作為離散振動系統(tǒng)來進行分析計算,這我們已在第二節(jié)中詳細討論過了。在這里,我們用有限法(FEM)對箱體離散化殼體結(jié)振動系統(tǒng)進行理論上的分析和計算。
一、三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu)有限元法(FEM)理論分析
所謂的有限元法,顧名思義,就是假設(shè)箱體薄殼體結(jié)構(gòu)是由一系列薄殼小元素組成,稱它們?yōu)橛邢拊?。這些小元素通過它們交界上的一些點連接起來,這些點稱為節(jié)點。元素間的相互連接必須滿足交界面上節(jié)點拉移協(xié)調(diào)條件和節(jié)點的力平衡條件。元素中任一點的位移用節(jié)點位移表示,取節(jié)位移為廣義坐標(biāo)。用彈性位能和動能公式建立元素的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣。在元素質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的基礎(chǔ)上,根據(jù)交界面上節(jié)點位移協(xié)調(diào)條件和節(jié)點的平衡條件組裝成系統(tǒng)的總質(zhì)量矩陣和總剛度矩陣。于是,離散振動系統(tǒng)的彈性性質(zhì)可用總剛度及矩陣來描述,慣性性質(zhì)可用總質(zhì)量矩陣來描述,阻尼性質(zhì)可用阻尼矩陣來描述。由此,可以計算出振動系統(tǒng)的固有模態(tài)參數(shù)。
對箱體薄殼體結(jié)構(gòu)進行有限元離散化處理時,有曲殼元和平殼元兩大類。顯然,用曲殼元離散箱體薄殼體結(jié)構(gòu)更接近于實際情況,但當(dāng)采用曲殼元時,根據(jù)所引入的近似的不同就會導(dǎo)出許多不相同的公式系統(tǒng),給分析計算帶來了一定的困難,且用曲殼元來計算所獲成功的例子很少,而用平面殼元來對箱體薄殼體結(jié)構(gòu)進行離散化處理時,只要有限元素尺寸大小合適,采用平面殼元近似所帶來的誤差與對連續(xù)系統(tǒng)離散化處理所帶來的誤差是同一階的,且分析計算大大的簡化了。綜上所述,我們采用平面殼元對Ⅱ子模型進行有限元離散化處理。
平面殼元一般產(chǎn)生彎曲和面內(nèi)兩種變形,根據(jù)二者不干涉的假定,我們在分析時可分別處理之。
平面殼元根據(jù)節(jié)點數(shù)的不同可分為線性(一次)、二次或更高階次的元;根據(jù)形狀的不同可分為三角形、矩陣或別的形狀等。在這里,我們根據(jù)三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu) 和特點及我們實際研究的需要,用線性薄殼矩形元對三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu)進行有限元離散化處理并分析,如圖3-2示和圖3-9示。
二、三環(huán)減速器箱體有限元法推導(dǎo)
對三環(huán)減速器箱體進行有限元理論分析計算的具體步驟簡述如下:
1、用線薄殼矩形元把箱體離散化。
2、形成線薄殼矩形元的剛度矩陣[Kω]和5質(zhì)量矩陣[Mω]
線性薄殼矩形元,它同時承受“面內(nèi)”力和彎矩作用,如圖3-2所(a)、(b)所示。
首先考慮面內(nèi)力作用下的情況,如圖3-2(a)示,應(yīng)變狀態(tài)由各節(jié)點的位移u,v唯一地描述,節(jié)點力fωp為:

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類似地,當(dāng)考慮彎矩作用下的情況時,如圖3-2(b)所示。應(yīng)變狀態(tài)曲Z方向的節(jié)點位移ω及兩個轉(zhuǎn)角θx、θy唯一地描述,產(chǎn)生如下類型的剛度矩陣:

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圖3-2 線性薄殼距形元

在組合上述兩個剛度短陣之前,有兩點應(yīng)注意,根據(jù)線性薄殼元互不干涉的假定,首先,對于面內(nèi)力所規(guī)定的位移不影響彎曲變形,且反之亦然;其次,在兩種模式中,轉(zhuǎn)角θz都不作為參數(shù)進入變形定義式。但現(xiàn)在我們再考慮這一轉(zhuǎn)角,并令一假想力矩Mr與其對應(yīng),則節(jié)點的位移為:

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式中剛度矩陣為:

同樣方法可以導(dǎo)出質(zhì)量矩陣為:

以上清式的分析,全部是在局部坐標(biāo)系(o,x,y,z)中進行的,再將它們合成整個系統(tǒng)的元素之前,應(yīng)變換到總體坐標(biāo)系(o′,x′,y′,z′)中,設(shè)局部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣為[L],則在總體坐標(biāo)系中單元的剛度矩陣Kω′和質(zhì)量矩Mω′。

[Kω′]=[L]T[Kω][L] (3.21)

[Mω′]=[L]T[Mω][L]

這樣我們就可以得到單元在總體坐系中運動的方程式為:

[Mω′]x′ω+[Kω′]xω=0 (3.22)

然后進一步可以構(gòu)構(gòu)造出Ⅱ子模型系統(tǒng)的運動方程式:

[M]x+[K]x=0?(3.23)

式(3.23)與第三節(jié)中建立的Ⅱ子模型的數(shù)學(xué)模型式(3.13)是一樣的,建立了系統(tǒng)的運動方程式后,若再對Ⅱ子模型加上邊界約束條件即或進行有限元的計算了。

對式(3.22)我們用式(3.10)將其轉(zhuǎn)化到實模態(tài)坐標(biāo)系里,就可求解Ⅱ子模型振動系統(tǒng)的固有模態(tài)參數(shù)。

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