搜索麥克斯韋方程和規(guī)范理論的概念起源
2016-12-27 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
楊振寧(諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主,清華大學(xué)高等研究院名譽(yù)院長(zhǎng))
人們通常認(rèn)為庫侖(Charles Augustin de Coulomb)、高斯(Carl Friedrich Gauss)、安培(André Marie Ampère )和法拉第(Michael Faraday)分別發(fā)現(xiàn)了電學(xué)和磁學(xué)中最基礎(chǔ)的力學(xué)規(guī)律,而麥克斯韋(James Clerk Maxwell)做的只是將這些規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)最終總結(jié)成一套具有高度統(tǒng)一性和對(duì)稱性的方程——麥克斯韋方程。可是我覺得,麥克斯韋的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于將已有的電磁學(xué)規(guī)律加以總結(jié)。麥克斯韋在方程中對(duì)幾何和對(duì)稱性的微妙物理直覺不僅推翻了十九世紀(jì)“場(chǎng)是超距作用”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),更在二十世紀(jì)直接推動(dòng)產(chǎn)生了具有高度統(tǒng)一性的粒子物理標(biāo)準(zhǔn)化模型。
1十九世紀(jì)的物理
人類對(duì)電與磁的探索始于十九世紀(jì)。1820年,奧斯特(Hans Christian Oersted,1777—1851)發(fā)現(xiàn)電流可以導(dǎo)致附近的小磁針運(yùn)動(dòng),這個(gè)發(fā)現(xiàn)讓整個(gè)歐洲為之振奮。最終安培(1775—1836)將之歸結(jié)為“超距作用”理論。彼時(shí)英格蘭的法拉第(1791—1867)也在同一領(lǐng)域進(jìn)行研究,但其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)略遜一籌。1822年,法拉第在一封給安培的信中寫道:“我覺得我的數(shù)學(xué)知識(shí)太匱乏,所以我難以理解抽象的推導(dǎo)而只能專注于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)具體的實(shí)驗(yàn)事實(shí)”。(參考文獻(xiàn)[1])
法拉第是一位依賴直覺的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家。從1831年到1854年,他將觀測(cè)的實(shí)驗(yàn)事實(shí)總結(jié)成三卷著作,是為《電學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究》(圖1)。不同尋常的是,三卷本不朽巨著里竟然沒有一個(gè)公式。法拉第用他超乎尋常的語言能力和幾何直覺,用平實(shí)的語言記載了物理規(guī)律和數(shù)學(xué)理論。
圖1 法拉第的《電學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究》三卷分別發(fā)表于1839、1844和1855年。右側(cè)為法拉第的手稿,寫于1831年10月17日,那天他發(fā)現(xiàn),在螺線管中移動(dòng)磁鐵時(shí),螺線管會(huì)產(chǎn)生電流。他因此發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象,這一定律最終成為我們今天制造大大小小發(fā)電站的理論依據(jù)、并推動(dòng)人類科技水平長(zhǎng)足的進(jìn)步。
圖2 法拉第畫像。插圖摘自1831年10月17日法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)的手稿。
在《電學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究》一書中,法拉第系統(tǒng)地探索了各種各樣的電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)。例如,他嘗試用不同種類的金屬制造螺線管,將螺線管浸泡在不同的介質(zhì)中,用兩個(gè)螺線管來進(jìn)行電磁感應(yīng)等等。他癡迷于兩個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,第一個(gè)是他發(fā)現(xiàn)磁鐵必須被移動(dòng)才能在螺線管中產(chǎn)生電流,第二個(gè)是感應(yīng)的方向似乎垂直于磁場(chǎng)的方向。
法拉第感覺自己似乎理解了電磁感應(yīng),進(jìn)而引入兩個(gè)幾何概念:磁力線和電緊張態(tài)。前者可以通過將鐵屑放在螺線管和磁鐵旁邊被直接觀測(cè)到。這些力線在今天的物理課本中通常用H來表示,稱為磁場(chǎng)。而電緊張態(tài) ,卻始終未在《電學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究》一書中有更清楚直觀的定義。這一概念即使首次出現(xiàn)在第一卷的第60節(jié)時(shí)也無清楚的定義。在隨后的章節(jié)中,電緊張態(tài)又被頻繁賦予各種其他的名字,諸如特殊態(tài)、強(qiáng)度態(tài)、特殊狀態(tài)等等。例如在第66節(jié)中法拉第稱:“所有的金屬都有特殊狀態(tài)?！痹诘?8節(jié)中寫道:“這種態(tài)是瞬間產(chǎn)生的?！蔽覀?cè)凇峨妼W(xué)的實(shí)驗(yàn)研究》第1114節(jié)還讀到——
“當(dāng)我們?cè)噲D將電與磁認(rèn)為是統(tǒng)一事物的兩面時(shí),或者當(dāng)作一種奇特的可以在垂直方向相互作用的物體時(shí),我直觀地覺得這兩種狀態(tài)或者物質(zhì)是可以相互轉(zhuǎn)化的。”
直到1854年法拉第在63歲去世時(shí),他所提出的幾何直觀以及電緊張態(tài)都缺乏清晰的定義。
走進(jìn)麥克斯韋的世界
1854年,麥克斯韋(1831—1879)畢業(yè)于著名的三一學(xué)院,那時(shí)他是一名對(duì)物理充滿激情的年輕人。剛剛畢業(yè)的麥克斯韋對(duì)電磁學(xué)有著極大的興趣,并寫信給時(shí)任格拉斯哥大學(xué)自然哲學(xué)系主任的湯姆森(William Thomson):
“假設(shè)一個(gè)人有一些對(duì)電學(xué)的基本認(rèn)識(shí),但是想進(jìn)一步了解電磁學(xué),他應(yīng)該以什么順序和方式研讀安培和法拉第的著作呢?他應(yīng)該怎樣研讀您在劍橋雜志上發(fā)表的論文呢?”(文獻(xiàn)[2])
湯姆森(1824—1907,后來的開爾文爵士)當(dāng)時(shí)極具影響力。麥克斯韋咨詢他是明智的選擇,因?yàn)樵缭?851年湯姆森就引入了矢勢(shì)A的概念來表示磁場(chǎng)H:
這個(gè)方程對(duì)麥克斯韋產(chǎn)生了巨大的影響。
我們無從考證湯姆森如何回復(fù)此信,但僅一年后,麥克斯韋就發(fā)表了其改變?nèi)祟愲姶艑W(xué)歷史的三篇著作中之第一篇,其中,麥克斯韋基于方程1給出法拉第所謂電緊張態(tài)的數(shù)學(xué)描述。麥克斯韋的三篇著作于1890年被尼文(William Davidson Niven)整理為兩卷本《麥克斯韋的科學(xué)論文》。
麥克斯韋的第一篇論文發(fā)表于1856年。它雖然滿含公式但卻比法拉第的《電學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究》更加易懂。該文的核心是第二部分,名為“法拉第的電緊張態(tài)”。第204頁有電緊張態(tài)的數(shù)學(xué)描述,用今天的向量表達(dá)可以寫為:
這里A指法拉第的電緊張強(qiáng)度。
在第207頁,麥克斯韋用文字描述了上述公式:
“第六定律-任何導(dǎo)體上的電動(dòng)力決定于電緊張強(qiáng)度的變化率,這一變化既可以是強(qiáng)度大小又可以是方向?！?/strong>
在我看來,利用湯姆森的矢勢(shì)A的概念對(duì)法拉第提出的電緊張態(tài)進(jìn)行數(shù)學(xué)定義是麥克斯韋科研生涯中第一個(gè)概念上的突破。如果對(duì)方程2兩邊取旋度,我們可以得到現(xiàn)在廣為人知的法拉第定律之?dāng)?shù)學(xué)表示,
或者同一方程的另外一種積分形式:
麥克斯韋當(dāng)時(shí)并未將法拉第定律寫成方程3或者方程4的形式,因其主要目的是為法拉第的電緊張態(tài)尋找準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)定義。而矢勢(shì)A的概念卻從此貫穿麥克斯韋一生的思維方式和理論體系。
麥克斯韋很快意識(shí)到,與其他物理量不同的是,在方程1—3中,矢勢(shì)A可以被任意加上一個(gè)散度為零的矢量而不影響最終的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)觀測(cè),《麥克斯韋的科學(xué)論文》一書第198頁中的定理五對(duì)這一規(guī)范自由度進(jìn)行了討論。那么麥克斯韋究竟為方程1—3中的A選擇了怎樣的規(guī)范呢?他在書中未觸及。我揣摩麥克斯韋暗示存在一種對(duì)A規(guī)范,使得方程1—3被同時(shí)滿足。
麥克斯韋當(dāng)時(shí)也一定意識(shí)到用湯姆森的矢勢(shì)概念來定義法拉第的電緊張態(tài)是很重要的。但為避免湯姆森不必要的誤解,麥克斯韋在第一篇論文的第二部分稱:
“針對(duì)當(dāng)前理論的歷史背景,利用文中的數(shù)學(xué)函數(shù)描述法拉第電緊張態(tài),并以之計(jì)算電動(dòng)勢(shì)和電動(dòng)力,是具有獨(dú)創(chuàng)性的。不過,最初關(guān)于可用數(shù)學(xué)表達(dá)來描述電磁學(xué)現(xiàn)象之理念來自于湯姆森教授的論文?！?/span>
麥克斯韋的“渦旋”
在第一篇論文完成五年后,麥克斯韋發(fā)表了他三篇著作中的第二篇論文,它分成四部分在1861年—1862年間陸續(xù)發(fā)表。與第一篇論文相比,這篇論文顯得極為晦澀難懂。麥克斯韋試圖通過引入“渦旋”模型的概念來解釋和統(tǒng)一電與磁。他認(rèn)為電磁現(xiàn)象是由無數(shù)個(gè)微小、看不見、又不停旋轉(zhuǎn)的物質(zhì)所引起,他稱之為“渦旋”。這些“渦旋”的旋轉(zhuǎn)方向和外磁場(chǎng)的方向一致(《麥克斯韋的科學(xué)論文》第489頁)。
圖 3“渦旋”模型示意圖,摘自《麥克斯韋的科學(xué)論文》第488頁?！皽u旋”六邊形周圍的箭頭方向錯(cuò)了,估計(jì)為做圖時(shí)筆誤。
麥克斯韋為“渦旋”作了一幅示意圖(圖3),并且在《麥克斯韋的科學(xué)論文》中第477頁給出了如下的描述:
“在PLATE VIII中,令A(yù)B表示從A流向B的電流。在AB上方和下方的空間表示渦旋。令分開渦旋的小圓圈代表表示電流的粒子并且令電流從左向右流動(dòng)。在AB上方的渦旋gh將會(huì)產(chǎn)生逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。我們稱逆時(shí)針方向?yàn)檎?而順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。假設(shè)渦旋kl仍處于靜止?fàn)顟B(tài),那么這一層上的粒子將會(huì)在gh的下方產(chǎn)生作用,而在上方將會(huì)靜止。如果它們皆可自由運(yùn)動(dòng),它們將沿負(fù)方向旋轉(zhuǎn),并同時(shí)從右往左移動(dòng)。所以感應(yīng)電流的方向與初始電流AB相反。”
麥克斯韋在第二篇論文的第二部分詳細(xì)描述了這一模型,發(fā)表在1861年4月出版的《哲學(xué)雜志》第21卷。麥克斯韋當(dāng)時(shí)顯然十分投入其“渦旋”理論,用了11頁長(zhǎng)篇大論此模型。
1862年發(fā)表第二篇論文的第三部分,其標(biāo)題為:“分子渦旋理論在靜電學(xué)的應(yīng)用”。通過長(zhǎng)達(dá)七頁的分析,麥克斯韋推導(dǎo)出其命題14:“為了糾正由于介質(zhì)彈性對(duì)電流的影響”(《麥克斯韋的科學(xué)論文》第496頁)。一個(gè)額外的糾正項(xiàng)(4πj)在安培定律中被加到與位移電流一起。
我曾多次試圖理解麥克斯韋在此論文中所提“空間介質(zhì)的彈性”的概念,但皆以失敗告終。值得一提的是“位移”的概念在第二篇論文第二部分的最后11頁中僅出現(xiàn)一次,而且是在無關(guān)緊要的語境中。不過此概念在第三部分前7頁頻繁出現(xiàn)并且成為麥克斯韋理論的核心。這兩部分發(fā)表時(shí)間相距僅8個(gè)月,似乎在這短短8個(gè)月時(shí)間里麥克斯韋找到了“渦旋”模型的新特性,從而產(chǎn)生了“位移”概念。
基于命題14,麥克斯韋很快預(yù)言了電磁波的存在。通過推導(dǎo),麥克斯韋計(jì)算出電磁波的速度就是光速。他如此闡述這一結(jié)論:“光波所含橫向介質(zhì)振動(dòng)是與電磁現(xiàn)象的產(chǎn)生原理相同的。”(《麥克斯韋的科學(xué)論文》第500頁,斜體為麥克斯韋本人所加。”)
有趣的是,麥克斯韋乃極為虔誠(chéng)的教徒,我猜想他在禱告時(shí)也許祈求上帝寬恕其發(fā)現(xiàn)造物主創(chuàng)造光的秘密。
2場(chǎng)論的誕生
麥克斯韋三篇著作的最后一篇發(fā)表于1865年,其中他總結(jié)歸納了著名的麥克斯韋方程。雖然如今麥克斯韋方程由四個(gè)矢量方程構(gòu)成,麥克斯韋在最初的論文中用了20個(gè)方程描述電磁現(xiàn)象,因?yàn)樗?dāng)時(shí)把這些方程寫成分量形式,并包含了電介質(zhì)和電流方程。
這一論文的意義遠(yuǎn)超過電磁學(xué)本身,它同時(shí)為以后的場(chǎng)論發(fā)展提供了最為重要的理論基礎(chǔ), 即“世界上的能量?jī)?chǔ)存于場(chǎng)中”。 麥克斯韋在其論文中寫道:
“談到場(chǎng)的能量,我希望讀者能清楚地理解這一概念。所有的能量和機(jī)械能都一樣,不管它以運(yùn)動(dòng)、彈性抑或其他的形式存在。電磁現(xiàn)象的能量就是機(jī)械能。唯一的問題是,這些能量存在于何處?根據(jù)舊的理論,這些能量以不為人知的勢(shì)能方式存在于帶電體中。它們可以形成電路、磁鐵等等并可產(chǎn)生超距作用。在我們的理論中,這種能量存在于電磁場(chǎng)中,而這種場(chǎng)存在于帶電體或帶磁體中,也存在于它們周圍空間的電磁場(chǎng)中。這種能量以兩種形式存在,即電極化和磁極化。如果提些很有可能成立的假設(shè),這種能量存在的形式是以太介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力(《麥克斯韋的科學(xué)論文》第564頁)。”
可是為了與當(dāng)時(shí)科學(xué)主流保持一致,麥克斯韋又寫道:
“我們因此有理由相信,在光和熱的現(xiàn)象之中,必然有一種以太介質(zhì)無處不在且可以滲透各種物體。這種介質(zhì)可以運(yùn)動(dòng)也可以將自己的運(yùn)動(dòng)從一個(gè)地方傳遞到另外一個(gè)地方,并且將有序的運(yùn)動(dòng)以某種形式轉(zhuǎn)化為熱能。(《麥克斯韋的科學(xué)論文》第528頁)?！?/strong>
麥克斯韋意識(shí)到他在前兩篇論文中提到的位移電流的概念和光的電磁波屬性的概念是極為重要的發(fā)現(xiàn)。所以他在第三篇論文再次歸納了這兩個(gè)概念的數(shù)學(xué)描述?？墒谴藭r(shí),似乎麥克斯韋本人也意識(shí)到“渦旋”概念的不合理,所以在這篇論文中,他再也沒有試圖用“渦旋”來解釋電磁現(xiàn)象。因此我們可以合理地假設(shè),在1865年,麥克斯韋已經(jīng)不再認(rèn)為“渦旋”模型是一個(gè)必不可少的解釋電磁現(xiàn)象的概念。不過當(dāng)時(shí)他仍然堅(jiān)持“必須存在一種以太介質(zhì),它無處不在并且可以滲透物體。”
1886年,赫茲((Heinrich Hertz,1857—1894)用實(shí)驗(yàn)證明電磁波的存在,用他設(shè)計(jì)的電路成功地發(fā)射、接受到了電磁波。
在十九世紀(jì)80年代,亥賽維(Oliver Heaviside,1890—1925)和赫茲分別發(fā)現(xiàn)可以去掉麥克斯韋方程中的磁矢量勢(shì)A。這一簡(jiǎn)化使麥克斯韋方程更好地展現(xiàn)電與磁的對(duì)稱之美。當(dāng)然我們今天知道,在量子力學(xué)的框架中,不能去掉磁矢量勢(shì)A,因其可在阿哈羅諾夫—玻姆(Aharonov-Bohm) 效應(yīng)中被觀測(cè)到。
3二十世紀(jì)的理論進(jìn)展
二十世紀(jì)場(chǎng)論的發(fā)展起源于愛因斯坦于1905年提出的狹義相對(duì)論。愛因斯坦從概念上摒棄了困擾理論物理界多年而且并不正確的“以太”,并提出電磁波本身就是一種看得見摸得著的介質(zhì)。真正的真空指無實(shí)體粒子、亦無電磁場(chǎng)的時(shí)空。真空概念的提出解決了1887年由邁克耳遜-莫雷實(shí)驗(yàn)(Michelson-Morley)而引出的物理疑團(tuán)。當(dāng)時(shí)這一實(shí)驗(yàn)的目的是尋找“以太”,但以失敗告終?？墒?當(dāng)今物理學(xué)界認(rèn)為,愛因斯坦之所以提出真空的概念并不是為了解釋邁克耳遜-莫雷實(shí)驗(yàn),而是為了正確地解釋物理中“同時(shí)性”這一基本概念。
從1930年到1932年,隨著實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)質(zhì)子,科學(xué)家廣泛采納狄拉克提出的“真空是由無限負(fù)能量的粒子組成”的概念,并最終演變成名為“量子電動(dòng)力學(xué)”的重要理論。20世紀(jì)30年代,量子電動(dòng)力學(xué)在低級(jí)近似計(jì)算中取得成功,但卻由于其中存在對(duì)“無窮大”的定義,使得其在高級(jí)近似計(jì)算中并不成功。
1947年—1950年,隨著一系列理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的突破,量子電動(dòng)力學(xué)在被進(jìn)行重整化修正后成為當(dāng)時(shí)最為精確的計(jì)算粒子物理電磁性質(zhì)的理論。最新的報(bào)道顯示,利用量子電動(dòng)力學(xué)計(jì)算的電子反常磁矩與實(shí)驗(yàn)值的偏差只有十億分之一((文獻(xiàn)[3],Quick Study by Gerald Gabrieslse, Physics Today, Dec 2013, p64)。
隨著重整化方法在量子電動(dòng)力學(xué)中的成功,以及眾多新的基本粒子的發(fā)現(xiàn),物理學(xué)界開始通過拓展場(chǎng)論的方法來解釋粒子之間的相互作用。雖然那個(gè)時(shí)代物理界發(fā)表了大量的研究成果,但均未能推動(dòng)根本性地理解粒子間的相互作用。那一時(shí)期的熱點(diǎn)包括,帶有矢量相互作用的標(biāo)量介子理論、帶有贗矢量相互作用的贗標(biāo)量介子理論等等。當(dāng)時(shí)也有物理學(xué)家在場(chǎng)論的范疇之外試圖解釋這些相互作用,但這些努力均未產(chǎn)生突破性的進(jìn)展。
4回到場(chǎng)論
從20世紀(jì)70年代開始,物理學(xué)家開始重新對(duì)場(chǎng)論感興趣。這其中最為重要的理論當(dāng)數(shù)起源于麥克斯韋方程的“非阿貝爾”規(guī)范理論。這里的“非阿貝爾”指的是,一個(gè)群中,不同操作發(fā)生的前后順序不能夠被交換(我曾在”Einstein’s impact on theoretical physics”, Physics Today, 1980 p42一文中討論規(guī)范理論。如果讀者對(duì)更多的技術(shù)細(xì)節(jié)感興趣,可以參閱Physics Today, Mar 1982, p41)。迄今,規(guī)范理論被理論物理學(xué)界認(rèn)為是解釋物質(zhì)結(jié)構(gòu)和相互作用的根基。其現(xiàn)代描述可以追溯到數(shù)學(xué)家外爾(Hermann Weyl)于1918年至1919年發(fā)表的三篇論文。其中可見,外爾深受愛因斯坦對(duì)電磁場(chǎng)幾何性的啟發(fā)。(文獻(xiàn)[4])。
外爾的理論完全基于他對(duì)平行位移重要性的深刻理解。他說:“黎曼幾何的發(fā)展如果要符合于自然界的規(guī)律,那么必須基于矢量的無限小位移?！蓖鉅栠M(jìn)一步考慮,如果在矢量的無限小位移中它的方向發(fā)生改變,那么為什么其長(zhǎng)度不能發(fā)生改變?因此外爾提出了不可積的伸縮因子的概念,并且通過下面的方程成功地與電磁場(chǎng)聯(lián)系起來:
這里Aμ是一個(gè)四維矢量勢(shì),而系數(shù)γ為實(shí)數(shù)。外爾將伸縮因子賦予給每個(gè)帶電物體在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)。愛因斯坦批評(píng)外爾在三篇論文中的第二篇里提出的位移的長(zhǎng)度改變的概念。當(dāng)時(shí),外爾并不能合理回答愛因斯坦的批評(píng)。
隨著1925年—1926年的量子力學(xué)的發(fā)展,?？?Vladimir Fock)和倫敦(Fritz London)分別指出在新的量子力學(xué)體系中,傳統(tǒng)的(p-eA)應(yīng)該被改寫成:
與方程5相比,eAμdxμ/γ被ieAμdxμ/?取代,也就是說γ被-i?取代。
外爾顯然接受了γ應(yīng)該是虛數(shù)的概念。他于1929年發(fā)表了一篇重要論文,定義了量子電動(dòng)力學(xué)中的規(guī)范變換,并且證明在這種變換下麥克斯韋方程在量子力學(xué)中是不變的。
在規(guī)范變換下,外爾定義的伸縮因子可以被改寫成:
很明顯,從方程7我們可以看出,這個(gè)因子實(shí)際上是一個(gè)相位變化因子。這一改變,也讓愛因斯坦早先的批評(píng)不辯自破。
1905年—1907年,分別發(fā)現(xiàn)洛倫茲不變量的愛因斯坦和明科夫斯基(Herman Minkowski)最早發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在麥克斯韋方程中的高度對(duì)稱性。外爾于1929年發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程在規(guī)范變換下的不變性,揭示了麥克斯韋方程的另一個(gè)重要對(duì)稱性。今天,我們意識(shí)到麥克斯韋方程中的對(duì)稱性正是當(dāng)代物理學(xué)的基石。
外爾的規(guī)范變換涉及一種理論界名為U(1)的在復(fù)數(shù)空間中的幾何轉(zhuǎn)動(dòng) ——這一轉(zhuǎn)動(dòng)與之前麥克斯韋所提出的“渦旋”的概念有驚人的相似。從數(shù)學(xué)上來說,方程7中的相位因子形成了一個(gè)名為U(1)的李群,而李群正是外爾最為感興趣的研究方向之一。更進(jìn)一步,對(duì)于那些更為專業(yè)的讀者,一種名為“纖維叢”的理論在1929年之前就已經(jīng)發(fā)展成型。然而,外爾當(dāng)時(shí)并沒有意識(shí)到電磁現(xiàn)象本身就是一種U(1)束理論,并且本該能夠在1929年將它推廣成非阿貝爾規(guī)范理論。
事實(shí)上,這一推廣發(fā)生在1954年,引發(fā)這一推廣的并非數(shù)學(xué),而是因?yàn)楫?dāng)時(shí)粒子物理學(xué)界不斷發(fā)現(xiàn)新的粒子,所以他們急需一種理論來解釋不同粒子的相互作用。這種強(qiáng)烈的需求在以下一段發(fā)表于1954年的摘要中有清楚的體現(xiàn):
“電荷是電磁場(chǎng)的起源。這一現(xiàn)象中的重要概念是規(guī)范不變量,而規(guī)范不變量與以下幾個(gè)方面相關(guān)(1)描述電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的方程,(2)電流密度,(3)帶電的場(chǎng)與電磁場(chǎng)之間的相互作用。我們?cè)噲D通過擴(kuò)展規(guī)范不變量的概念來解釋同位旋守恒?！? (文獻(xiàn)[5])
這一推廣產(chǎn)生的非阿貝爾場(chǎng)論在數(shù)學(xué)上極為完美,但卻多年無法得到物理學(xué)家們的認(rèn)可。這是因?yàn)?這一理論要求存在一種不具有質(zhì)量但卻帶電荷的粒子。
隨后為了給非阿貝爾場(chǎng)論中的無質(zhì)量粒子賦予質(zhì)量,理論物理學(xué)界于上世紀(jì)60年代引入了自發(fā)對(duì)稱破缺的概念。這一概念最終產(chǎn)生了一系列重要的理論突破,包括利用U(1)xSU(2)xSU(3)規(guī)范來統(tǒng)一弱相互作用、電磁相互作用和強(qiáng)相互作用的標(biāo)準(zhǔn)化模型。從1960年開始,國(guó)際理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)界逐步對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化模型進(jìn)行驗(yàn)證。其中最為引人注目的當(dāng)屬2012年在CERN發(fā)現(xiàn)的上帝粒子——“希格斯玻色子”。有數(shù)千名物理學(xué)家參與這一實(shí)驗(yàn)(Physics Today, Sep 2012, p12)。
盡管標(biāo)準(zhǔn)化模型取得了驚人的成就,但它并非最終的理論。首先,這個(gè)理論包含眾多人為添加的常數(shù)。更重要的是,其基礎(chǔ)——對(duì)稱破缺機(jī)制僅僅是一種唯象的概念。費(fèi)米對(duì)beta衰減的“四勢(shì)相互作用”的解釋從1934年開始主導(dǎo)理論界達(dá)40年(文獻(xiàn)[6]),它最終還是被更加深刻的基于U(1)xSU(2)規(guī)范的弱電統(tǒng)一理論所取代。
規(guī)范自由度早在十九世紀(jì)50年代就被麥克斯韋和湯姆森所意識(shí)到。甚至可能更早法拉第已憑借自己的物理直覺注意到這一現(xiàn)象。最終,數(shù)學(xué)家外爾于1929年將麥克斯韋方程中的規(guī)范自由度與量子力學(xué)統(tǒng)一起來,并為當(dāng)今規(guī)范化模型奠定了基礎(chǔ)。
麥克斯韋方程是線性的。在非阿貝爾規(guī)范理論中,方程是非線性的。這種非線性從概念上來說與廣義相對(duì)論中的非線性具有相同的來源。關(guān)于廣義相對(duì)論中的非線性問題,愛因斯坦曾說:
“我們僅僅考慮純引力場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)。
這些方程的奇特性一方面在于其復(fù)雜形式,尤其是其場(chǎng)量和微分的非線性。另一方面,這一復(fù)雜性又是極為必要的,因?yàn)槭亲儞Q群決定了場(chǎng)論的復(fù)雜性。(文獻(xiàn)7,p75)。
因此,真正的理論必然是非線性的(文獻(xiàn)7,p89)?！?/strong>
二十世紀(jì)前半葉,數(shù)學(xué)家們完全獨(dú)立地提出了名為“纖維叢”的理論。這一理論有眾多源頭,包括卡坦(élie Cartan)的微分形式、豪泰林(Harold Hotelling)的統(tǒng)計(jì)學(xué)、惠特尼(Hassler Whitney)的拓?fù)鋵W(xué)、陳省身的整體微分幾何、埃爾斯曼(Charles Ehresmann)的聯(lián)絡(luò)理論。如此多樣的起源表明纖維叢理論是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的核心。
在二十世紀(jì)70年代,物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家驚訝地發(fā)現(xiàn)阿貝爾和非阿貝爾規(guī)范理論均與纖維叢理論不謀而合(文獻(xiàn)[8])。當(dāng)然,大家樂于接受這一發(fā)現(xiàn),因?yàn)樗鷦?dòng)地詮釋了數(shù)學(xué)與物理的緊密聯(lián)系。這一聯(lián)系曾在二十世紀(jì)中葉,由于理論數(shù)學(xué)的不斷抽象化而被短暫地中斷。
在1975年,在我的數(shù)學(xué)同事賽蒙斯(James Simons)發(fā)現(xiàn)纖維叢理論并非必要時(shí),我拿出一篇狄拉克于1931年發(fā)表的討論磁單極子的論文給他看。他驚訝道:“原來狄拉克在數(shù)學(xué)家之前就發(fā)現(xiàn)了平凡和不平凡的纖維叢的概念?！?
最后我想以一段麥克斯韋發(fā)表于1867年對(duì)法拉第去世的悼詞來結(jié)束我們的歷史回顧。麥克斯韋寫道:
“法拉第使用假想力線的方法來解釋電磁感應(yīng),說明他實(shí)際上是一位具有高度智慧的數(shù)學(xué)家”;
“從歐幾里德的直線到法拉第的力線,這一切說明了動(dòng)態(tài)和幾何的思維不斷推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步”;
“以今天收集到的科學(xué)證據(jù)為基礎(chǔ),也許下一位如法拉第般偉大的哲學(xué)家能發(fā)展出全新的科學(xué),而我們今天很可能對(duì)此一無所知”。
文獻(xiàn):
1. F. A. J. L. James, ed., The Correspondence of Michael Faraday,Vol. 1, Institution of Electrical Engineers (1991),p. 287.
2. J. Larmor, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 695 (1936),p. 697.
3. T. Kinoshita, in Proceedings of the Conference in Honour ofthe 90th Birthday of Freeman Dyson, K. K. Phua et al.,eds., World Scientific (2014), p. 148.
4. For this and the ensuing history, see C. N. Yang, in HermannWeyl, 1885–1985: Centenary Lectures, K. Chandrasekharan,ed., Springer (1986), p. 7; and A. C. T. Wu,C. N. Yang, Int. J. Mod. Phys. A 21,3235 (2006).
5. C. N. Yang, R. Mills, Phys. Rev. 95, 631 (1954).
6. An English translation of Fermi’s original paper isavailable in F. L. Wilson, Am. J. Phys. 36, 1150 (1968).
7. P. A. Schilpp, ed., Albert Einstein: Philosopher-Scientist,Open Court (1949). The two passages are English translationsof Einstein’s autobiographical notes written in1946 when Einstein was 67 years old.
8. T. T. Wu, C. N. Yang, Phys. Rev. D 12, 3845 (1975).
英文版發(fā)表于Physics Today(2014年11 月,45—51 頁),《賽先生》中文版由胡凌志(華盛頓大學(xué)理學(xué)博士,飛利浦電子北美研發(fā)中心分子影像科學(xué)家)翻譯。攝影:李曉明。
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