工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問(wèn)題有兩大類(lèi),一類(lèi)是求結(jié)構(gòu)的自振頻率(固有頻率)及相應(yīng)的振型,另一類(lèi)是求在任意動(dòng)力載荷(例如沖擊力、風(fēng)、海浪或地震)作用下結(jié)構(gòu)位置、變形或內(nèi)力等隨時(shí)間的變化規(guī)律。

對(duì)于線性結(jié)構(gòu),其自振頻率和振型只與結(jié)構(gòu)本身屬性(如剛度、質(zhì)量分布、約束條件等)有關(guān)、而與引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)的原因無(wú)關(guān),是結(jié)構(gòu)本身的固有屬性。而對(duì)于非線性結(jié)構(gòu),其動(dòng)力學(xué)上的有關(guān)特性不僅與結(jié)構(gòu)自身屬性有關(guān),而且與引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)的原因有關(guān)。

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析的目的要保證結(jié)構(gòu)在使用期間,在可能發(fā)生的動(dòng)力載荷作用下能夠正常地工作,并確保其安全可靠。這就需要知道結(jié)構(gòu)在任意動(dòng)力載荷作用下隨時(shí)間而變化的響應(yīng)(包括位移、應(yīng)變和應(yīng)力等)。為此。這就需要一套有效的求解動(dòng)力響應(yīng)的方法。對(duì)于小型簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,應(yīng)用相關(guān)的動(dòng)力學(xué)理論知識(shí)便可解答,但對(duì)于非線性復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)分析,用理論知識(shí)求解過(guò)于繁瑣也不現(xiàn)實(shí),隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展這類(lèi)問(wèn)題得到一定程度上的解決,現(xiàn)如今各種分析軟件如:ANSYS、ABAQUS以及ADINA等。這些軟件不管在靜力問(wèn)題還是動(dòng)力問(wèn)題上都能很好的應(yīng)用。

本設(shè)計(jì)課題研究的是沖擊方面的動(dòng)力分析。沖擊,顧名思義是一個(gè)結(jié)構(gòu)體撞擊另一個(gè)結(jié)構(gòu)體的動(dòng)力問(wèn)題,其研究的是二物體碰撞時(shí)由于外力急速變化引起的結(jié)構(gòu)物的短暫響應(yīng),控制方程和一般動(dòng)力問(wèn)題沒(méi)有什么不同,但是在碰撞的過(guò)程中有應(yīng)力波傳播、局部區(qū)域的彈塑性變形、短時(shí)響應(yīng)以及局部破壞等現(xiàn)象。如果采用數(shù)值分析方法進(jìn)行求解,則要使用較小的單元網(wǎng)格分割,對(duì)時(shí)間間隔△T也需要取得很小。對(duì)于工程中三維問(wèn)題計(jì)算費(fèi)用相當(dāng)大。為了應(yīng)對(duì)這方面的問(wèn)題,這次課題采用CAE軟件輔助的辦法減小計(jì)算成本以及加快計(jì)算速度。

該課題研討的是小球自由落體與底板碰撞的動(dòng)力學(xué)分析問(wèn)題,這其中存在兩個(gè)可以說(shuō)獨(dú)立的過(guò)程,一個(gè)是自由落體過(guò)程,另一個(gè)自然是碰撞接觸過(guò)程?，F(xiàn)在分別對(duì)兩種分析進(jìn)行相關(guān)的介紹。

對(duì)于自由落體問(wèn)題,歷史上對(duì)自由落體最先研究的是古希臘的科學(xué)家亞里士多德,他提出:物體下落的快慢是由物體本身的重量決定的,物體越重,下落得越快;反之,則下落得越慢。亞里士多德的理論影響了其后兩千多年的人。直到物理學(xué)家伽利略在提出了相反的意見(jiàn)。伽利略在1636年的《兩種新科學(xué)的對(duì)話》中寫(xiě)道:如果依照亞里士多德的理論,假設(shè)有兩塊石頭,大的重量為8,小的為4,則大的下落速度為8,小的下落速度為4,當(dāng)兩塊石頭被綁在一起的時(shí)候,下落快的會(huì)因?yàn)槁亩煌下?。所以整個(gè)體系和下落速度在4-8之間。但是,兩塊綁在一起的石頭的整體重量為12,下落速度也就應(yīng)該大于8,這就陷入了一個(gè)自相矛盾的境界。伽利略由此推斷物體下落的速度應(yīng)該不是由其重量決定的。他在書(shū)中設(shè)想,自由落體運(yùn)動(dòng)的速度是勻速變化的。伽利略自由落體定律:物體下落的速度與時(shí)間成正比,它下落的距離與時(shí)間的平方成正比,物體下落的加速度與物體的重量無(wú)關(guān),也與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)。為了徹底改變亞里斯多德的錯(cuò)誤所形成的影響,伽利略特意在比薩斜塔上當(dāng)眾用兩個(gè)大小不一的鐵球做了一次實(shí)驗(yàn),結(jié)果讓所有在場(chǎng)的人大吃一驚,兩個(gè)鐵球同時(shí)落地。亞里士多德(前384—前322年),古希臘斯吉塔拉人,世界古代史上最偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家之一。是柏拉圖的學(xué)生,亞歷山大的老師。公元前335年,他在雅典辦了一所叫呂克昂的學(xué)校,被稱(chēng)為逍遙學(xué)派。馬克思曾稱(chēng)亞里士多德是古希臘哲學(xué)家中最博學(xué)的人物,恩格斯稱(chēng)他是古代的黑格爾?，F(xiàn)在科學(xué)界對(duì)自由落體問(wèn)題的認(rèn)識(shí)還是從伽利略時(shí)期開(kāi)始的也正是因?yàn)槟莻€(gè)經(jīng)典的落體實(shí)驗(yàn)推翻了亞里士多德對(duì)重物下落問(wèn)題的理論。經(jīng)過(guò)幾百年的科學(xué)發(fā)展,無(wú)疑伽利略是對(duì)的。

碰撞,在物理學(xué)中表現(xiàn)為兩粒子或物體間極短的相互作用。碰撞前后參與物發(fā)生速度,動(dòng)量或能量改變。由能量轉(zhuǎn)移的方式區(qū)分為彈性碰撞和非彈性碰撞。彈性碰撞是碰撞前後整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能不變的碰撞。彈性碰撞的必要條件是動(dòng)能沒(méi)有轉(zhuǎn)成其他形式的能量(熱能、轉(zhuǎn)動(dòng)能量),例如原子的碰撞。非彈性碰撞是碰撞后整個(gè)系統(tǒng)的部分動(dòng)能轉(zhuǎn)換成至少其中一碰撞物的內(nèi)能,使整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能無(wú)法守恒。

兩個(gè)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體,接觸并迅速改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的現(xiàn)象。可以是宏觀物體的碰撞,如打夯、鍛壓、擊球等,也可以是微觀粒子如原子、核和亞原子粒子間的碰撞。經(jīng)典力學(xué)中通常研究?jī)蓚€(gè)球的正碰,即其相對(duì)速度正好在球心的聯(lián)線上。由于碰撞過(guò)程十分短暫,碰撞物體間的沖力遠(yuǎn)比周?chē)矬w給它們的力為大,后者的作用可以忽略,這兩物體組成的系統(tǒng)可視為孤立系統(tǒng)。動(dòng)量和能量守恒,但機(jī)械能不一定守恒。如果兩球的彈性都很好,碰撞時(shí)因變形而儲(chǔ)存的勢(shì)能,在分離時(shí)能完全轉(zhuǎn)換為動(dòng)能,機(jī)械能沒(méi)有損失,稱(chēng)完全彈性碰撞,鋼球的碰撞接近這種情況。如果是塑性球間的碰撞,其形變完全不能恢復(fù),碰撞后兩球同速運(yùn)動(dòng),很大部分的機(jī)械能通過(guò)內(nèi)摩擦轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,稱(chēng)完全非彈性碰撞,如泥球或蠟球的碰撞,沖擊擺也屬于這一類(lèi)。介于兩者之間的即兩球分離時(shí)只部分地恢復(fù)原狀的,稱(chēng)非完全彈性碰撞,機(jī)械能的損失介于上述兩類(lèi)碰撞之間。微觀粒子間的碰撞,如只有動(dòng)能的交換,而無(wú)粒子的種類(lèi)、數(shù)目或內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變者,稱(chēng)彈性碰撞或彈性散射;如不僅交換動(dòng)能,還有粒子能態(tài)的躍遷或粒子的產(chǎn)生和湮沒(méi),則稱(chēng)非彈性碰撞或非彈性散射。在粒子物理學(xué)中可借此獲得有關(guān)粒子間相互作用的信息,是頗為重要的研究課題。

前人的成果是為了讓后人能有更大的成果,而作為后人不能也不會(huì)讓探索世界的腳步就這樣停止。對(duì)簡(jiǎn)單的自由落體問(wèn)題,現(xiàn)如今的科學(xué)界以對(duì)其有很深的認(rèn)知,然而認(rèn)知無(wú)底線。由于碰撞類(lèi)問(wèn)題的研究日漸盛行,人們對(duì)其研究的的熱情有增無(wú)減,該課題研究的就是將自由落體運(yùn)動(dòng)和碰撞運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的非線性問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題可以應(yīng)用到很多類(lèi)似的落體問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)中去,比如手機(jī)跌落,拍打籃球等行為。不同的材料,得到的結(jié)果必然不同。但是跌落類(lèi)碰撞問(wèn)題太多,而自己正在分析的可能是前人沒(méi)有研究的在這方面的該問(wèn)題的問(wèn)題。希望自己對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的研究能夠在某種程度上起到前人的推動(dòng)作用,即便微乎其微。

碰撞問(wèn)題牽涉到動(dòng)力學(xué)分析,它所研究的不單單是簡(jiǎn)單的靜力學(xué)方面的問(wèn)題,更涉及到非線性的,無(wú)限自由度的,瞬時(shí)的動(dòng)力分析問(wèn)題。由于篇幅限制,這里僅介紹一些簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)理論,具體這方面知識(shí)可自行參考相關(guān)書(shū)籍。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中,把結(jié)構(gòu)的質(zhì)量假設(shè)為一連續(xù)的空間函數(shù)。因此結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)含有空間坐標(biāo)和時(shí)間的偏微分方程,只是對(duì)某些簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu),這些方程才有可能直接求解。對(duì)于絕大多數(shù)實(shí)際結(jié)構(gòu),在工程分析中主要采用數(shù)值方法。作法是先把結(jié)構(gòu)離散化成為一個(gè)具有有限自由度的數(shù)學(xué)模型,在確定載荷后,導(dǎo)出模型的運(yùn)動(dòng)方程,然后選用合適的方法求解。

將結(jié)構(gòu)離散化的方法主要有以下三種:

集聚質(zhì)量法:把結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量集聚于一系列離散的質(zhì)點(diǎn)或塊,而把結(jié)構(gòu)本身看作是僅具有彈性性能的無(wú)質(zhì)量系統(tǒng)。由于僅是這些質(zhì)點(diǎn)或塊才產(chǎn)生慣性力,故離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程只以這些質(zhì)點(diǎn)的位移或塊的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)作為自由度。對(duì)于大部分質(zhì)量集中在若干離散點(diǎn)上的結(jié)構(gòu),這種方法特別有效;

瑞利-里茲法(即廣義位移法):假定結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)的位形(偏離平衡位置的位移形態(tài))可用一系列事先規(guī)定的容許位移函數(shù)f(x)之和來(lái)表示,這樣,離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程就以廣義坐標(biāo)qj作為自由度。對(duì)于質(zhì)量分布比較均勻,形狀規(guī)則且邊界條件易于處理的結(jié)構(gòu),這種方法很有效(具體類(lèi)容可見(jiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)一書(shū));

有限元法:可以看作是分區(qū)的瑞利-里茲法,其要點(diǎn)是先把結(jié)構(gòu)劃分成適當(dāng)數(shù)量的區(qū)域(稱(chēng)為單元),然后對(duì)每一單元施行瑞利-里茲法。通常取單元邊界上(有時(shí)也包括單元內(nèi)部)若干個(gè)幾何特征點(diǎn)(例如三角形的頂點(diǎn)、邊中點(diǎn)等)處的廣義位移qj作為廣義坐標(biāo),并對(duì)每個(gè)廣義坐標(biāo)取相應(yīng)的插值函數(shù)作為單元內(nèi)部的位移函數(shù)(或稱(chēng)形狀函數(shù))。在這樣的數(shù)學(xué)模型中,要求形狀函數(shù)的組合在相鄰單元的公共邊界上滿足位移連續(xù)條件。一般地說(shuō),有限元法是最靈活有效的離散化方法,它提供了既方便又可靠的理想化模型,并特別適合于用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析,是目前最為流行的方法,已有不少專(zhuān)用的或通用的程序可供結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析之用。

動(dòng)力學(xué)基本運(yùn)動(dòng)方程

這里也簡(jiǎn)單的對(duì)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方程給予簡(jiǎn)單的介紹?？捎萌N等價(jià)但形式不同的方法建立,即:

用達(dá)朗伯原理引進(jìn)慣性力,根據(jù)作用在體系或其微元體上全部力的平衡條件直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程;

利用廣義坐標(biāo)寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、阻尼耗散函數(shù)及廣義力表達(dá)式,根據(jù)哈密頓原理或其等價(jià)形式的拉格朗日方程導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程;

根據(jù)作用在體系上全部力在虛位移上所作虛功總和為零的條件,即根據(jù)虛功原理導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng),應(yīng)用最廣的是第二種方法。

通常,結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)二階常微分方程組,寫(xiě)成矩陣形式為:

式中M、C、K、分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣,X為結(jié)構(gòu)的廣義坐標(biāo)矩陣,Q為結(jié)構(gòu)的廣義力矩陣。

根據(jù)振動(dòng)力學(xué)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論,我們可以計(jì)算出簡(jiǎn)支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù),計(jì)算過(guò)程如下:

連續(xù)梁的自由振動(dòng)方程為 :

(2.1)

由分離變量法設(shè):

(2.2)

代入自由振動(dòng)方程得:

(2.3)

對(duì)于等截面梁:

,其中 , (2.4)

可得通解:

(2.5)

應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定,對(duì)于簡(jiǎn)支梁

固定鉸由于撓度和截面彎矩為零則在兩端有:

,

, (2.6)

帶入上式得:(2.7)

以及:

(2.8)

由 (2.9)

可得頻率方程:,(2.10)

固有頻率:

, (2.11)

頻率:

, (2.12)

模態(tài)函數(shù):

, (2.13)

有限元法(finite element method)是一種高效能、常用的計(jì)算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的,所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類(lèi)物理場(chǎng)中(這類(lèi)場(chǎng)與泛函的極值問(wèn)題有著緊密的聯(lián)系)。自從1969年以來(lái),某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程,因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類(lèi)物理場(chǎng)中,而不再要求這類(lèi)物理場(chǎng)和泛函的極值問(wèn)題有所聯(lián)系?；舅枷?由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問(wèn)題。

將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體,用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù),近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來(lái)表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化,通過(guò)對(duì)有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問(wèn)題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元:桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個(gè)桿件;連續(xù)體的單元是各種形狀(如三角形、四邊形、六面體等)的單元體。每個(gè)單元的場(chǎng)函數(shù)是只包含有限個(gè)待定節(jié)點(diǎn)參量的簡(jiǎn)單場(chǎng)函數(shù),這些單元場(chǎng)函數(shù)的集合就能近似代表整個(gè)連續(xù)體的場(chǎng)函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)殘量方程可建立有限個(gè)待定參量的代數(shù)方程組,求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。有限元法已被用于求解線性和非線性問(wèn)題,并建立了各種有限元模型,如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法十分有效、通用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛,已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計(jì)使用。結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù),有限元法也被用于計(jì)算機(jī)輔助制造中。

步驟1:剖分:

將待解區(qū)域進(jìn)行分割,離散成有限個(gè)元素的集合.元素(單元)的形狀原則上是任意的.二維問(wèn)題一般采用三角形單元或矩形單元,三維空間可采用四面體或多面體等.每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)(或結(jié)點(diǎn)).

步驟2:單元分析:

進(jìn)行分片插值,即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開(kāi),即建立一個(gè)線性插值函數(shù)

步驟3:求解近似變分方程

2.2.3發(fā)展歷程

有限單元法最早可上溯到20世紀(jì)40年代。Courant第一次應(yīng)用定義在三角區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理來(lái)求解St.Venant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題?，F(xiàn)代有限單元法的第一個(gè)成功的嘗試是在 1956年,Turner、Clough等人在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí),將鋼架位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問(wèn)題,給出了用三角形單元求得平面應(yīng)力問(wèn)題的正確答案。1960年,Clough進(jìn)一步處理了平面彈性問(wèn)題,并第一次提出了"有限單元法",使人們認(rèn)識(shí)到它的功效。

50年代末60年代初,中國(guó)的計(jì)算數(shù)學(xué)剛起步不久,在對(duì)外隔絕的情況下,馮康帶領(lǐng)一個(gè)小組的科技人員走出了從實(shí)踐到理論,再?gòu)睦碚摰綄?shí)踐的發(fā)展中國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)的成功之路。當(dāng)時(shí)的研究解決了大量的有關(guān)工程設(shè)計(jì)應(yīng)力分析的大型橢圓方程計(jì)算問(wèn)題,積累了豐富而有效的經(jīng)驗(yàn)。馮康對(duì)此加以總結(jié)提高,作出了系統(tǒng)的理論結(jié)果。1965年馮康在《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)》上發(fā)表的論文《基于變分原理的差分格式》,是中國(guó)獨(dú)立于西方系統(tǒng)地創(chuàng)始了有限元法的標(biāo)志。

該課題可以說(shuō)部分分析是瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析,比如小球碰撞底板的時(shí)候。而MATKAB求解的原理也是基于有限元分析的原理對(duì)模型進(jìn)行單元離散網(wǎng)格劃分,并且對(duì)模型做一些必要的前處理。具體見(jiàn)相關(guān)資料說(shuō)明。這里簡(jiǎn)述如下:

瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析需要求解半離散的方程組,離散意指結(jié)構(gòu)由離散的節(jié)點(diǎn)描述,半離散是指在方程的導(dǎo)出過(guò)程中,每個(gè)時(shí)刻都要滿足平衡。在瞬態(tài)分析中,連續(xù)的時(shí)間周期分為許多時(shí)間間隔,并且只有在離散的時(shí)間上才能得到解。

對(duì)于線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,動(dòng)力學(xué)行為完全由兩個(gè)獨(dú)立的特性決定:線彈性(動(dòng)力)結(jié)構(gòu)行為和施加的動(dòng)力載荷。因此,可首先不考慮施加的載荷進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析(即模態(tài)分析)來(lái)確定特征值;其次基于結(jié)構(gòu)的特征值和特征模態(tài)計(jì)算給定載荷歷程的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。這一過(guò)程稱(chēng)為模態(tài)分析或模態(tài)疊加法。由于高階模態(tài)不準(zhǔn)確,因而比較成功的應(yīng)用大都在于由低頻范圍的激振的結(jié)構(gòu)。

另一種方法,動(dòng)力學(xué)方程可以作為施加載荷的函數(shù)而直接積分,積分方法有多種,重要的一點(diǎn)就是穩(wěn)定性和精度,這些方法可以用于短波長(zhǎng)問(wèn)題,只要有限元網(wǎng)格足夠細(xì)密,就能夠描述這些局部的現(xiàn)象。

按照求解方法,ABAQUS 允許在瞬態(tài)動(dòng)力分析中包括各種類(lèi)型的非線性——大變形、接觸、塑性等。常用的求解方法如圖2—1所示。

圖2—1 求解方法

其中縮減矩陣和完整矩陣的主要區(qū)別是:

縮減矩陣:

用于快速求解。

根據(jù)主自由度寫(xiě)出[K]、[C]、[M]等矩陣,主自由度是完全自由度的子集。

縮減的[K]是精確的,但縮減的[C]和[M]是近似的。此外,還有其他一些缺陷。

完整矩陣:

不進(jìn)行縮減,采用完整的[K]、[C]和[M]矩陣。

模型圖見(jiàn)上面圖3—1。下面給出具體尺寸以及材料參數(shù):

底板:碳鋼材料,密度ρ=2850kg/m3,彈性模量E=210Gpa,泊松比v=0.28;底板幾何參數(shù),底板長(zhǎng)度x寬度=1mx1m,厚度t1=0.05m,約束情況,底板四邊固定鉸支。

球:橡膠材料,本構(gòu)關(guān)系為Moony-Rivilin,基本參數(shù)C1=3.2MPa、C2=0.8MPa、C3=0。密度ρ=1500kg/m3,厚度t2=0.02m,內(nèi)壓P=0.4MPa;小球的幾何參數(shù),直徑D=0.2m。

裝配參數(shù):小球放在底板正上方H=0.5m處

圖3-1 計(jì)算模型

由于求是密閉容器,受到外載荷的作用后,內(nèi)壓隨變形變化,雖然常內(nèi)壓無(wú)法模擬這種變化,但是由于研究變內(nèi)壓會(huì)使得計(jì)算更加復(fù)雜而且結(jié)果不容易收斂,因此這里采用常內(nèi)壓進(jìn)行求解計(jì)算。這里采用ABAQUS進(jìn)行建模分析。

建模步驟:

1. 部件的創(chuàng)建(這一步也可以在一些CAD軟件中實(shí)施):

創(chuàng)建部件,用三維可變形殼造底板和球,命名。

ball:3D,Deformable,Shell,Revolution,1。軸右半圓,旋轉(zhuǎn)360°。

planar:3D,Deformable,Shell,Planer,1。-0.5,-0.5; 0.5,-0.5; 0.5, 0.5; -0.5, 0.5。

1. 2. 材料屬性

創(chuàng)建材料:

將材料命名,球的材料Material-ball:密度Density:ρ=1500kg/m3;

依次操作Mechanical,Elasticity,Hyperelastic,Strain Energy potential:Mooney-Rivlin;Input Source:

Coefficients;C10=3.2MPa,C01=0.8MPa,D1=0。

將材料命名,底板材料Material-planar:密度Density:ρ=2850kg/m3;

依次操作Mechanical,Elasticity,Elastic:彈性模量E=210GPa,泊松比v =0.28。

創(chuàng)建截面:

球:命名為Section—ball。選中shell(殼),各項(xiàng)同性Honogeneous,單擊Continue,在Basic中的Thickness中輸入殼的厚度值Shell thickness:Value 0.02,在Material中選中之前創(chuàng)建的材料Material-ball,單擊OK確定。

板塊:命名為Section—planar。同上面選中shell(殼),各項(xiàng)同性Honogeneous,單擊Continue,在Basic中的Thickness中輸入殼的厚度值Shell thickness:Value 0.05,在Material中選中之前創(chuàng)建的材料Material-planar,單擊OK確定。

將截面的性質(zhì)附加到部件上:

球:點(diǎn)擊Assign(或者點(diǎn)擊快捷按鈕),Section,然后選中部件ball,Done,在彈出的窗口中的Section框中選中之前創(chuàng)建的截面Section—ball將截面信息注入部件ball;

板塊:點(diǎn)擊Assign(或者點(diǎn)擊快捷按鈕),Section,然后選中部件planar,Done,在彈出的窗口中的Section框中選中之前創(chuàng)建的截面Section—planar將截面信息注入部件planar。

1. 3. 裝配

創(chuàng)建計(jì)算實(shí)體

以部件ball和planar為原形,用Dependent 方式生成實(shí)體。

裝配

用旋轉(zhuǎn)、平移等方法把底板放置到球的正下方。

1. 創(chuàng)建分析步:

2. 1) 創(chuàng)建非線性動(dòng)力學(xué)分析步,命名為Step-1,Dynamic, Explicit,幾何非線性(Nlgeon)打開(kāi),Δt=0.315,0~0.315s(time period 0.315),Description:The Falling Step,單擊Ok確定;

3. 2) 創(chuàng)建非線性動(dòng)力學(xué)分析步,命名為Step-2,Dynamic,Explicit,幾何非線性(Nlgeon)打開(kāi),Δt=0.015,0.315~0.33s(time period 0.015),Description:The Crash Step,單擊Ok確定。

4. 接觸:

創(chuàng)建相互作用屬性:

命名IntProp-1,屬性為接觸Contact,性質(zhì):無(wú)(無(wú)摩擦有限滑動(dòng)),單擊Ok確定。

創(chuàng)建接觸對(duì):

創(chuàng)建輪軸接觸對(duì),命名int—1在初始步Step-1 中,面-面接觸Surface-to-surface contact(Explicit),主動(dòng)面選球外表面,被動(dòng)面選底板上表面。

1. 6. 施加載荷

2. 6.1 施加位移邊界條件:

命名,只約束底板四邊自由度ux、uy、uz。

1. 6.2 創(chuàng)建載荷:

2. 6.2.1 創(chuàng)建時(shí)間歷程:

3. 1) 歷程1:平滑歷程,0s:0 幅度;0.1s:1 幅度;1.0s:1 幅度;命名幅度-時(shí)間歷程文件為Amp -1。頂部下拉菜單,Tools,Amplitude,Create,Amp-1,Smooth step,0,0,0.1,1,1,1。

4. 2) 歷程2:突變歷程,0s:1 幅度;1.0s:1 幅度;命名幅度-時(shí)間歷程文件為Amp -2。頂部下拉菜單,Tools,Amplitude,Create,Amp-2,Smooth step,0,1,1,1。

5. 6.2.2 施加重力

頂部下拉菜單Load,命名Load—1,選擇Step—1,Mechanical,重力載荷Gravity,Continue,Z方向,重力加速度Component3輸入-9.8,Amplitude:Amp-1。

6.2.3 施加內(nèi)壓

頂部下拉菜單Load,命名Load—2,選擇Step—1,Mechanical,球的內(nèi)壓載荷Pressure,Continue,作用于球的內(nèi)壁,在Magnitude中輸入0.4MPa,Amplitude:Amp-2。

1. 7. 劃分網(wǎng)格

進(jìn)入Mesh模塊,對(duì)部件Prat-1、Prat-2 分別進(jìn)行。

1. 7.1 板網(wǎng)格控制

2. 1) 對(duì)板進(jìn)行分割:將中央接觸區(qū)單分區(qū),頂部菜單Tools,Partition,Face,Sketch,選中板右邊界,進(jìn)入草繪界面。用繪圓工具在坐標(biāo)原點(diǎn)做一個(gè)半徑為0.1m的圓,Done;

3. 2) 撒種子:頂部菜單,Seed,Edges,按住Shift鍵選中底板的四個(gè)邊界,Done,控制種子數(shù)為3,繼續(xù)選中剛剛繪制的圓,控制種子數(shù)為7,OK確定;

4. 3) 劃分網(wǎng)格:選中部件Planar,Mesh,part,Yes。

5. 7.2 球網(wǎng)格控制

6. 1) 撒種子:頂部菜單,Seed,Edges,選中部件ball的母線,Done,控制種子數(shù)為3,OK確定;

7. 2) 網(wǎng)格控制:頂部菜單,Mesh,Controls,Tri,Free,OK確定;

8. 3) 劃分網(wǎng)格:選中部件ball,Mesh,part,Yes。

9. 8. 建立項(xiàng)目

進(jìn)入Job模塊,創(chuàng)建項(xiàng)目求解。

項(xiàng)目:頂部菜單,Job,Create,命名Job—1,Continue,完全分析,OK確定。

計(jì)算:進(jìn)入項(xiàng)目管理器,頂部菜單,Job,Manager,提交Submit,打開(kāi)Monitor查看器觀看計(jì)算過(guò)程,知道計(jì)算結(jié)束。單擊Results按鈕進(jìn)入后處理模塊,查看結(jié)果。

觀察結(jié)果

利用可視化后處理模塊,觀察小球在下落及碰撞整個(gè)過(guò)程的應(yīng)力云圖及動(dòng)態(tài)畫(huà)面。查看接觸后各幀結(jié)果的應(yīng)力、位移云圖以及能量變化圖,分析結(jié)果數(shù)據(jù),得到問(wèn)題的結(jié)論。

3.3 結(jié)果與分析

1. 3.3.1 應(yīng)力云圖:由于幀數(shù)有點(diǎn)多,這里只顯示Step2中的幾幀。

圖3-2:Frame 13

圖3-3:Frame 20

1. 3.3.2 第二載荷步中小球模型中304號(hào)結(jié)點(diǎn)應(yīng)力結(jié)果如下圖所示:

圖3-4

從該結(jié)果中可看出小球在0.322502秒之前應(yīng)力值是趨于穩(wěn)定階段,可能這個(gè)階段變形趨于穩(wěn)定,應(yīng)力變化不大;而過(guò)了該階段,也就是0.3222502(s)—0.324751(s)階段,小球接觸區(qū)該結(jié)點(diǎn)應(yīng)力變化幅度較大,最大可達(dá)到2.94507E+007Pa,可能在該階段小球變形完全,也是自己彈性勢(shì)能最大點(diǎn)。之后從0.324751秒之后直到結(jié)束,小球逐漸離開(kāi)碰撞區(qū),內(nèi)力變化逐漸穩(wěn)定,但由于彈性因素,還略有波動(dòng)。

1. 3.3.3 平板中間接觸區(qū)某結(jié)點(diǎn)(80號(hào))在Step2時(shí)應(yīng)力結(jié)果

該課題所研究的是被撞底板在受到碰撞后板中的應(yīng)力情況,這里只研究直接碰撞去某一結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力情況,研究該點(diǎn)最大值和應(yīng)力變化情況。

曲線顯示:

圖3-5

表格顯示:

由于圖表只是顯示該時(shí)間段的應(yīng)力變化趨勢(shì)情況,具體數(shù)值情況沒(méi)有很好的給出。下面給出對(duì)應(yīng)上圖3-6的各個(gè)具體坐標(biāo)值表格如下:

表3-1

從表格數(shù)據(jù)和圖形中可以看出,在0.32175秒之前板中應(yīng)力狀況保持不變,這段時(shí)間版中應(yīng)力來(lái)源應(yīng)該是版自身重力荷載所引起,如同剪支梁受局部載荷作用。在0.32175秒到最后分析結(jié)束,版中該結(jié)點(diǎn)應(yīng)力變化成鋸齒狀,該過(guò)程中在0.32775秒是應(yīng)力變化幅度有點(diǎn)大,但馬上峰回路轉(zhuǎn)。說(shuō)明整個(gè)過(guò)程中,板中該結(jié)點(diǎn)應(yīng)力變化是線性的,但有些模態(tài)時(shí)奇異的。另外從數(shù)據(jù)中看出該結(jié)點(diǎn)應(yīng)力最大時(shí)刻發(fā)生在0.323251秒,Stress(MAX)= 1.4688E+007。數(shù)值相當(dāng)可觀。

1. 3.3.4 模型在整個(gè)過(guò)程的應(yīng)變能變化過(guò)程如下圖所示:

圖3-6

從圖中可看出,整個(gè)過(guò)程中應(yīng)變能總體上是成遞減狀態(tài),這也證實(shí)了碰撞能量的理論。

1. 3.3.5 命令流:

*Heading

** Job name: 1242gxjs Model name: Model-1

** Generated by: Abaqus/CAE 6.10-1

*Preprint, echo=NO, model=NO, history=NO, contact=NO

** PARTS

*Part, name=ball

*Node

1, 0., 0.100000001, 0.

.........

408, 0.0203050822, -0.0978147611, -0.00446948688

*Element, type=S4R

1, 17, 18, 3, 2

........

377, 14, 15, 408, 407

*Element, type=S3

378, 17, 2, 1

.........

435, 15, 16, 408

*Nset, nset=_PickedSet5, internal, generate

1, 408, 1

*Elset, elset=_PickedSet5, internal, generate

1, 435, 1

** Section: Section-ball

*Shell Section, elset=_PickedSet5, material=Material-ball

0.02, 5

*End Part

*Part, name=planar

*Node

1, -0.5, 0.5, 0.

.........

85, -0.0259475131, 0.0442680791, 0.

*Element, type=S3

1, 68, 36, 48

………

64, 85, 76, 75

*Element, type=S4R

6, 49, 57, 69, 40

………

78, 27, 28, 83, 84

*Nset, nset=_PickedSet6, internal, generate

1, 85, 1

*Elset, elset=_PickedSet6, internal, generate

1, 78, 1

** Section: Section-planar

*Shell Section, elset=_PickedSet6, material=Material-planar

0.05, 5

** ASSEMBLY

*Assembly, name=Assembly

*Instance, name=Part-1-1, part=ball

0., 0., 0.1

*End Instance

*Instance, name=Part-2-1, part=planar

0., 0., -0.4

*End Instance

*Nset, nset=_PickedSet16, internal, instance=Part-2-1

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

18, 19, 20, 21

*Elset, elset=_PickedSet16, internal, instance=Part-2-1

7, 16, 18, 19, 22, 24, 27, 28, 32, 35, 37, 43, 47, 50, 51, 52

*Elset, elset=__PickedSurf14_SPOS, internal, instance=Part-1-1, generate

1, 435, 1

*Surface, type=ELEMENT, name=_PickedSurf14, internal

__PickedSurf14_SPOS, SPOS

*Elset, elset=__PickedSurf15_SPOS, internal, instance=Part-2-1, generate

1, 78, 1

*Surface, type=ELEMENT, name=_PickedSurf15, internal

__PickedSurf15_SPOS, SPOS

*Elset, elset=__PickedSurf17_SNEG, internal, instance=Part-1-1, generate

1, 435, 1

*Surface, type=ELEMENT, name=_PickedSurf17, internal

__PickedSurf17_SNEG, SNEG

*End Assembly

*Amplitude, name=Amp-1, definition=SMOOTH STEP

0., 0., 0.1, 1., 1., 1.

*Amplitude, name=Amp-2, definition=SMOOTH STEP

0., 1., 1., 1.

** MATERIALS

*Material, name=Material-ball

*Density

1500.,

*Hyperelastic, mooney-rivlin

3.2e+08,800000., 0.

*Material, name=Material-planar

*Density

2850.,

*Elastic

2.1e+11, 0.28

** INTERACTION PROPERTIES

*Surface Interaction, name=IntProp-1

** BOUNDARY CONDITIONS

** Name: BC-1 Type: Displacement/Rotation

*Boundary

_PickedSet16, 1, 1

_PickedSet16, 2, 2

_PickedSet16, 3, 3

** STEP: Step-1

*Step, name=Step-1

The Falling Step

*Dynamic, Explicit

, 0.315

*Bulk Viscosity

0.06, 1.2

** Name: Load-1 Type: Gravity

*Dload, amplitude=Amp-1

, GRAV, 9.8, 0., 0., -1.

** Name: Load-2 Type: Pressure

*Dsload, amplitude=Amp-2

_PickedSurf17, P, 400000.

** INTERACTIONS

** Interaction: Int-1

*Contact Pair, interaction=IntProp-1, mechanical constraint=KINEMATIC, cpset=Int-1

_PickedSurf14, _PickedSurf15

** OUTPUT REQUESTS

*Restart, write, number interval=1, time marks=NO

** FIELD OUTPUT: F-Output-1

*Output, field, variable=PRESELECT

** HISTORY OUTPUT: H-Output-1

*Output, history, variable=PRESELECT

*End Step

** STEP: Step-2

*Step, name=Step-2

The Crash Step

*Dynamic, Explicit

, 0.015

*Bulk Viscosity

0.06, 1.2

** OUTPUT REQUESTS

*Restart, write, number interval=1, time marks=NO

** FIELD OUTPUT: F-Output-1

*Output, field, variable=PRESELECT

** HISTORY OUTPUT: H-Output-1

*Output, history, variable=PRESELECT

*End Step

綜合自網(wǎng)絡(luò)