深入淺出地講解麥克斯韋方程組

2017-01-10 by:CAE仿真在線(xiàn) 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

有人要求不講微積分來(lái)講解一下麥克斯韋方程組?感覺(jué)到基本不太可能啊,你不知道麥克斯韋方程組里面每個(gè)方程都是一個(gè)積分或者微分么??那既然這樣,我只能躲躲閃閃,不細(xì)談任何具體的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)關(guān)系,純粹揮揮手扯扯淡地說(shuō)一說(shuō)電磁學(xué)里的概念和思想。

1. 力、能、場(chǎng)、勢(shì)

經(jīng)典物理研究的一個(gè)重要對(duì)象就是力 force。比如牛頓力學(xué)的核心就是 F=ma 這個(gè)公式,剩下的什么平拋圓周簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都可以用這貨加上微積分推出來(lái)。但是力有一點(diǎn)不好,它是個(gè)向量 vector(既有大小又有方向),所以即便是簡(jiǎn)單的受力分析,想解出運(yùn)動(dòng)方程卻難得要死。很多時(shí)候,從能量的角度出發(fā)反而問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單很多。能量 energy 說(shuō)到底就是力在空間上的積分(能量=功=力×距離),所以和力是有緊密聯(lián)系的,而且能量是個(gè)標(biāo)量 scalar,加減乘除十分方便。分析力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)就繞開(kāi)了力,從能量出發(fā),算運(yùn)動(dòng)方程比牛頓力學(xué)要簡(jiǎn)便得多。

在電磁學(xué)里,我們通過(guò)力定義出了場(chǎng) field 的概念。我們注意到洛侖茲力總有著 F=q(E+v×B) 的形式,具體不談,單看這個(gè)公式就會(huì)發(fā)現(xiàn)力和電荷(或電荷×速度)程正比。那么我們便可以刨去電荷(或電荷×速度)的部分,僅僅看剩下的這個(gè)“系數(shù)”有著怎樣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。也就是說(shuō),場(chǎng)是某種遍布在空間中的東西,當(dāng)電荷置于場(chǎng)中時(shí)便會(huì)受力。具體到兩個(gè)電荷間的庫(kù)侖力的例子,就可以理解為一個(gè)電荷制造了電場(chǎng),而另一個(gè)電荷在這個(gè)電場(chǎng)中受到了力,反之亦然。類(lèi)似地我們也可以對(duì)能量做相同的事情,刨去能量中的電荷(或電荷×速度),剩下的部分便是勢(shì) potential

一張圖表明關(guān)系:

具體需要指出,這里的電場(chǎng)(標(biāo)為 E)和磁場(chǎng)(標(biāo)為 B)都是向量場(chǎng),也就是說(shuō)空間中每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)向量。如果我們把 xyz 三個(gè)分量分開(kāi)來(lái)看的話(huà),這就是三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。而能量和勢(shì)是標(biāo)量(電磁學(xué)中的勢(shì)其實(shí)并不是標(biāo)量,原因馬上揭曉),放到空間中也就是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。在力 / 場(chǎng)和能量 / 勢(shì)之間互相轉(zhuǎn)化的時(shí)候,我們是在 31 個(gè)標(biāo)量場(chǎng)之間轉(zhuǎn)化,必然有一些信息是丟掉了的。怎么辦?

一個(gè)顯而易見(jiàn)的答案是“保守力場(chǎng)”conservative force field。在這樣一個(gè)場(chǎng)中,能量(做功)不取決于你選擇什么樣的路徑。打個(gè)比方,你爬一座山,無(wú)論選擇什么路徑,只要起點(diǎn)和終點(diǎn)一樣,那么垂直方向上的差別都是一樣的,做的功也一樣多。在這種情況下,我們對(duì)力場(chǎng)有了諸多限制,也就是說(shuō),我假如知道了一個(gè)保守力場(chǎng)的 x 一個(gè)分量,那么另兩個(gè)分量 yz 就隨之確定了,我沒(méi)得選(自由度其實(shí)只有一個(gè)標(biāo)量場(chǎng))。有了保守力場(chǎng)這樣的額外限制,向量場(chǎng)F(3 個(gè)標(biāo)量場(chǎng))和(1 個(gè))標(biāo)量場(chǎng) V 之間的轉(zhuǎn)化便不會(huì)失去信息了。具體而言,二者關(guān)系可以寫(xiě)作 F=-?V。這里不說(shuō)具體細(xì)節(jié),你只要知道 ? 是一種固定的、把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的算法就可以了(叫做算符 operator)。

那么我們想問(wèn),電場(chǎng)和磁場(chǎng)是不是保守力場(chǎng)呢?很不幸,不是。在靜電學(xué)中,靜止的電場(chǎng)是保守的,但在電動(dòng)力學(xué)中,只要有變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng),電場(chǎng)就不是一個(gè)保守力場(chǎng)了;而磁場(chǎng)從來(lái)都不是保守力場(chǎng)。這也就是說(shuō)明,在電磁學(xué)中,我們很少涉及能量這個(gè)概念,因?yàn)樗荒芡暾孛枋鲆粋€(gè)電磁場(chǎng)。我們更多時(shí)候只關(guān)注“場(chǎng)”這個(gè)概念,盡管因此我們不得不涉足很多向量微積分,但我們沒(méi)有辦法,這是不讓信息丟掉的唯一辦法。那么,既然勢(shì)也是標(biāo)量,它是否也是一個(gè)沒(méi)什么用的概念呢?恰恰相反,在電動(dòng)力學(xué)中我們定義出了“向量勢(shì)”vector potential,以保留額外的自由度。后面我會(huì)更具體地談到這一點(diǎn)。

總而言之,我想說(shuō)明一點(diǎn),那就是電磁學(xué)的主要研究對(duì)象是電場(chǎng)和磁場(chǎng),而麥克斯韋方程組就是描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方程。勢(shì)(包括電勢(shì)和磁向量勢(shì))也是有用的概念,而且不像引力勢(shì)是一個(gè)標(biāo)量,在電磁學(xué)中勢(shì)不得不變成一個(gè)向量。

2. 麥克斯韋方程組
前邊說(shuō)到,麥克斯韋方程組 Maxwell equations 是描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方程。前邊也說(shuō)到,因?yàn)殡姶艌?chǎng)不是保守力場(chǎng),它們有三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的自由度,所以我們必須用向量微積分來(lái)描述電磁場(chǎng)。因此,麥克斯韋方程組每個(gè)式子都出現(xiàn)了向量微積分,而整個(gè)方程組也有積分形式和微分形式兩種。這兩種形式是完全等價(jià)的,只是兩種不同的寫(xiě)法。這里我先全部寫(xiě)出。

積分形式:

微分形式:

這里 E 表示電場(chǎng),B 表示磁場(chǎng),ε0 和μ0 只是兩個(gè)常數(shù)暫時(shí)可以忽略。積分形式中 Q 是電荷,I 是電流,V 表示一塊體積,?V 表示它的表面,而 S 表示一塊曲面,?S 表示它的邊緣。微分形式中 ρ 是電荷密度(電荷 / 體積),J 是電流密度(電流 / 面積),? · 和 ? × 是兩個(gè)不同的算符,基本可以理解為對(duì)向量的某種微分。

先不說(shuō)任何細(xì)節(jié),我們可以觀(guān)察一下等式的左邊。四個(gè)方程中,兩個(gè)是關(guān)于電場(chǎng) E 的,兩個(gè)是關(guān)于磁場(chǎng) B 的;兩個(gè)是曲面積分 ∫da 或者散度 ? ·,兩個(gè)是曲線(xiàn)積分 ∫dl 或者旋度 ? ×。不要管這些術(shù)語(yǔ)都是什么意思,我后面會(huì)講到。但光看等式左邊,我們就能看出四個(gè)式子分別描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的兩個(gè)東西,非常對(duì)稱(chēng)。

3. 電荷 -> 電場(chǎng),電流 -> 磁場(chǎng)
這一部分和下一部分中,我來(lái)簡(jiǎn)單講解四個(gè)式子分別代表什么意思,而不涉及任何定量和具體的計(jì)算。

我們從兩個(gè)電荷之間的庫(kù)侖力講起。庫(kù)侖定律 Coulomb's Law 是電學(xué)中大家接觸到的最早的定律,有如下形式:

其中 Q 是電荷,r 是電荷之間的距離,r 是表示方向的單位向量。像我之前說(shuō)的,把其中一個(gè)電荷當(dāng)作來(lái)源,然后刨去另一個(gè)電荷,就可以得到電場(chǎng)的表達(dá)式。

高中里應(yīng)該還學(xué)過(guò)安培定律 Ampere's Law,也就是電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的定律。雖然沒(méi)有學(xué)過(guò)具體表達(dá)式,但我們已經(jīng)能看出它與庫(kù)侖定律之間的區(qū)別。庫(kù)侖定律描述了“兩個(gè)”微小來(lái)源(電荷)之間的“力”,而安培定律是描述了“一個(gè)”來(lái)源(電流)產(chǎn)生的“場(chǎng)”。事實(shí)上,電磁學(xué)中也有磁場(chǎng)版本的庫(kù)侖定律,描述了兩個(gè)微小電流之間的力,叫做畢奧 - 薩伐爾定律 Biot-Savart Law;反之,也有電場(chǎng)版本的安培定律,描述了一個(gè)電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng),叫做高斯定律 Gauss's Law。這四個(gè)定律之間有如下關(guān)系:

數(shù)學(xué)上可以證明庫(kù)侖定律(畢奧 - 薩伐爾定律)和高斯定律(安培定律)在靜電學(xué)(靜磁學(xué))中是完全等價(jià)的,也就是說(shuō)我們可以任意假設(shè)一個(gè)定律,從而推導(dǎo)出另一個(gè)定律。然而如果我們想從靜止的靜電學(xué)和靜磁學(xué)推廣到電動(dòng)力學(xué),前者是非常不便的而后者很卻容易,所以盡管庫(kù)侖定律在中學(xué)中常常提到,麥克斯韋方程組中卻沒(méi)有它,有的是高斯定律和安培定律。這兩個(gè)定律分別是麥克斯韋方程組里的 (1) 和 (4) 的第一項(xiàng),即:

高斯定律(積分、微分形式):

安培定律(積分、微分形式):

我們繼續(xù)推遲講解數(shù)學(xué)關(guān)系,單看這幾個(gè)式子本身,就能看到等式的左邊有電場(chǎng) E(磁場(chǎng) B),而右邊有電荷 Q(電流 I)或電荷密度ρ(電流密度 J)。看,電荷產(chǎn)生電場(chǎng),電流產(chǎn)生磁場(chǎng)!

4. 變化磁場(chǎng) -> 電場(chǎng),變化磁場(chǎng) -> 電場(chǎng)
然而這不是故事的全部,因?yàn)槭聦?shí)上電磁場(chǎng)是可以互相轉(zhuǎn)化的。法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng),也就是說(shuō)變化的磁場(chǎng)是可以產(chǎn)生電場(chǎng)的,這就是法拉第定律 Faraday's Law。類(lèi)似地,麥克斯韋發(fā)現(xiàn)安培定律的描述并不完善,除了電流以外,變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生磁場(chǎng),這被稱(chēng)為安培 - 麥克斯韋定律 Ampere-Maxwell Law。這兩個(gè)定律分別是麥克斯韋方程組里的 (2) 和 (4) 的第二項(xiàng),即:

法拉第定律(積分、微分形式):

安培 - 麥克斯韋定律(積分、微分形式):

同樣地,等式的左邊有電場(chǎng) E(磁場(chǎng) B),而右邊有磁場(chǎng) B(電場(chǎng) E)的導(dǎo)數(shù) d/dt 或偏導(dǎo) ?/?t?？?變化磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng),變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)!
需要指出的是,我這樣的說(shuō)法其實(shí)是不準(zhǔn)確的,因?yàn)椴⒉皇钦娴哪骋粋€(gè)場(chǎng)“產(chǎn)生”的另一個(gè)場(chǎng)。這兩個(gè)定律只是描述了電場(chǎng)(磁場(chǎng))和磁場(chǎng)(電場(chǎng))的變化率之間的定量關(guān)系,而不是因果關(guān)系。

小結(jié)一下,我們已經(jīng)搞清楚了麥克斯韋方程組里每一項(xiàng)的意思,基本就是指出了電磁場(chǎng)的來(lái)源和變化電磁場(chǎng)的定量關(guān)系。下一步便是往我們這些粗淺的理解中加入數(shù)學(xué),具體看看這些方程到底說(shuō)了什么。在這之前,我們必須花一點(diǎn)時(shí)間了解一下向量微積分的皮毛。

5. 向量積分
普通的單變量微積分基本可以理解為乘法的一種拓展。我們想計(jì)算一個(gè)矩形的面積,我們用長(zhǎng) x 乘寬 y,即 xy。如果寬不是一個(gè)定值而是根據(jù)長(zhǎng)而變化的(也就是說(shuō)寬是一個(gè)長(zhǎng)的函數(shù),即寬=y(x)),那么我們就需要積分,記為“∫y(x)dx”。這樣的想法也很容易推廣到更高的維度,比如在一塊體積 V 內(nèi),若電荷密度為 ρ,那么這塊體積內(nèi)的總電荷就是 Q=ρV;如果 ρ 在空間中每一點(diǎn)都不一樣,是個(gè)關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù) ρ(x),那么就要變成積分 Q=∫∫∫ρ(x)dV(這里三個(gè) ∫ 表示是一個(gè)三維的積分,很多時(shí)候也可以省略寫(xiě)為一個(gè) ∫)。

在向量場(chǎng)中,這個(gè)事情比較麻煩。首先兩個(gè)向量的乘積的定義稍顯復(fù)雜,必須使用點(diǎn)乘 dot product,即 u·v,它暗示著兩個(gè)向量之間的角度,也就是有多么平行。如果 u 和 v 完全平行,它們的點(diǎn)乘是一個(gè)正值;如果方向相反,則是一個(gè)負(fù)值;如果垂直,那么為 0。另一方面,我們不一定要像上一個(gè)電荷的例子一樣積上整個(gè)體積 V,我們可以只積一個(gè)曲面 S 或者一條曲線(xiàn) γ。這就是所謂的曲面積分和曲線(xiàn)積分的概念。

曲面積分 surface integral 有如下形式:

其中 S 表示我們需要積的曲面,F 是我們想要積的向量場(chǎng),· 代表點(diǎn)乘,a 指向垂直于 S 的方向。因此,我們看到,如果 F 和 S 是平行的,那么點(diǎn)乘處處得 0,這個(gè)曲面積分也為 0。換句話(huà)說(shuō),曲面積分表示著向量場(chǎng) F 穿過(guò)曲面 S 的程度,因此也很形象地叫做通量 flux。下圖為兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子(虛線(xiàn) ---- 表示曲面所在的位置):
曲面積分(通量)為 0:

曲面積分(通量)不為 0:

那么曲線(xiàn)積分 line integral 也很類(lèi)似,只不過(guò)我們不積一個(gè)曲面 S 而是一個(gè)一維的曲線(xiàn) γ。它有如下形式:

其中γ表示我們需要積的曲線(xiàn),·代表點(diǎn)乘,l指向曲線(xiàn)γ的方向。不難看出,曲線(xiàn)積分表示著向量場(chǎng) F 沿著曲線(xiàn) γ 的程度。下圖為兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子(虛線(xiàn) ---- 表示曲線(xiàn)γ):
曲線(xiàn)積分不為 0:

曲線(xiàn)積分為 0:

特別地,如果曲線(xiàn)是閉合的(首尾相連的),那么我們可以在積分符號(hào) ∫ 上畫(huà)一個(gè)圈,表示閉合,然后這個(gè)特殊的曲線(xiàn)積分叫做環(huán)量 circulation,因?yàn)槭欠e了一個(gè)環(huán)嘛。很顯然,如果 F 是個(gè)保守力場(chǎng),那么我隨便找一個(gè)閉合曲線(xiàn),做的功都一定為 0(這就是保守力場(chǎng)的定義啊),所以保守力場(chǎng)的任意環(huán)量都為 0。最后一提,“環(huán)量”這個(gè)名字很少使用,一般就直接叫做“閉合曲線(xiàn)的積分”。

定義一個(gè)通量所使用的曲面 S 則不一定要是閉合的,任何曲面都可以。如果這個(gè)曲面很特殊恰好是閉合的,我們也可以在積分符號(hào)∫∫上畫(huà)上一個(gè)圈,代表閉合,但這個(gè)量則沒(méi)有一個(gè)特殊的名字了。

總結(jié)如下表:

6. 麥克斯韋方程組的積分形式

我非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋隽饲娣e分和曲線(xiàn)積分分別是什么。我們回頭看看麥克斯韋方程組的積分形式,我們應(yīng)該都能看懂了。

(1)、高斯定律:

電場(chǎng) E 在閉合曲面 ?V 上的通量,等于該曲面包裹住的體積 V 內(nèi)的電荷(乘上系數(shù) 1/ε0);

(2)、法拉第定律:電場(chǎng) E 在閉合曲線(xiàn) ?S 上的環(huán)量,等于磁場(chǎng) B 在該曲線(xiàn)環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率(乘上系數(shù) -1);

(3)、高斯磁定律:磁場(chǎng) B 在閉合曲面 ?V 上的通量,等于 0;

(4)、安培麥克斯韋定律:磁場(chǎng) B 在閉合曲線(xiàn) ?S 上的環(huán)量,等于該曲線(xiàn)環(huán)住的曲面 S 里的電流(乘上系數(shù) μ0),加上電場(chǎng) E 在該曲線(xiàn)環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率(乘上系數(shù) μ0ε0)。

雖然在我看來(lái),這樣的描述已經(jīng)是非常通俗、沒(méi)有任何數(shù)學(xué)了,但對(duì)于沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)微積分的同學(xué)來(lái)說(shuō),顯然還是太晦澀了一點(diǎn)。那么我來(lái)舉幾個(gè)例子吧。

(1) 高斯定律:
例子1:假設(shè)我們有一個(gè)點(diǎn)電荷 Q,以其為球心作一個(gè)球,把這塊體積稱(chēng)為 V,那么?V 就是這個(gè)球的表面。這個(gè)電荷 Q 產(chǎn)生了一些電場(chǎng),從中心的 Q 向外發(fā)射,顯然電場(chǎng)線(xiàn)都穿過(guò)了球的表面?V,所以“閉合曲面?V 的通量”是個(gè)正數(shù),不為 0,而“該曲面包裹住的電荷”為 Q,也不為 0。

例子2:假設(shè)我們把電荷 Q 替換為 -Q,那么所有的電場(chǎng)線(xiàn)方向都反過(guò)來(lái)了,?V 的通量(記得通量中的點(diǎn)乘嗎?)也因此獲得了一個(gè)負(fù)號(hào),所以“閉合曲面 ?V 的通量”變成了負(fù)數(shù),而“該曲面包裹住的電荷”為 -Q,也變成了負(fù)數(shù)。等式再一次成立。

例子3:假設(shè)我們把這個(gè)球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的 2 倍,這個(gè)球的表面積就變成了原來(lái)的 4 倍。與此同時(shí),由于庫(kù)侖力的反比平方定律,由于球表面與球心電荷 Q 的距離變成了原來(lái)的 2 倍,在球表面 ?V 的電場(chǎng)強(qiáng)度也變成了原來(lái)的 1/4。通量(電場(chǎng)和面積的積分)獲得一個(gè)系數(shù) 4,又獲得一個(gè)系數(shù) 1/4,所以“閉合曲面 ?V 的通量”沒(méi)有變,而“該曲面包裹住的電荷”顯然仍然為 Q,也沒(méi)有變。

例子4:事實(shí)上,我們隨便怎么改變這一塊表面積的大小、體積,算出來(lái)的通量都不會(huì)變(盡管會(huì)非常難算),因?yàn)榈仁降挠疫叀霸撉姘〉碾姾伞币恢倍紱](méi)有變。

例子5:假設(shè)我們把電荷移到這個(gè)曲面外面,那么電場(chǎng)線(xiàn)會(huì)從這個(gè)球的一面穿透進(jìn)去,然后從另一面出來(lái),所以當(dāng)我們做積分的時(shí)候,兩個(gè)方向的通量抵消了,整個(gè)“閉合曲面?V 的通量”為 0,而此時(shí)我們的曲面沒(méi)有包裹住任何電荷,所以“該曲面包裹住的電荷”也為 0。等式成立。

(2) 法拉第定律:

例子6:一圈閉合導(dǎo)線(xiàn),環(huán)住了一塊曲面 S,則記這個(gè)曲線(xiàn)的位置為 ?S,那么經(jīng)過(guò) ?S 的電場(chǎng) E 的環(huán)量其實(shí)就是導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的電勢(shì)(電壓)。垂直于 S 通過(guò)一些磁場(chǎng) B,則通過(guò) S 的磁通量不為 0。然而此時(shí)導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)并沒(méi)有電流,也就是說(shuō),并沒(méi)有電壓,“閉合曲線(xiàn) ?S 的環(huán)量”為 0。這是很顯然的,因?yàn)榇磐坎](méi)有變化,沒(méi)有電磁感應(yīng),換句話(huà)說(shuō),“曲面 S 上的通量的變化率”為 0。

例子7:這個(gè)時(shí)候我突然增加磁場(chǎng),所以磁通量變大了,“磁通量的變化率”為正,不為 0。因此,等式的左邊“閉合曲線(xiàn) ?S 的環(huán)量”也為正,不為 0,也就是說(shuō),導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)產(chǎn)生了一些電壓,繼而產(chǎn)生了一些感應(yīng)電流。這正是大家熟悉的法拉第電磁感應(yīng)。

例子8:如果我不是增加磁場(chǎng),而是減小磁場(chǎng),那么磁通量變小了,“磁通量的變化率”為負(fù)。那么等式左邊“閉合曲線(xiàn) ?S 的環(huán)量”也獲得了一個(gè)負(fù)號(hào),換句話(huà)說(shuō),感應(yīng)電流的方向反了過(guò)來(lái)。

(3) 高斯磁定律:

例子9:隨便選擇一個(gè)閉合曲面,整個(gè)曲面上的磁通量一定為 0。這和電場(chǎng)的情況迥然不同,因此說(shuō)明,不像有可以產(chǎn)生電場(chǎng)的“電荷”,這個(gè)世界上是沒(méi)有能單獨(dú)產(chǎn)生磁場(chǎng)的“磁荷”(也就是“磁單極子”)的。 (4) 安培 - 麥克斯韋定律:

例子10:假設(shè)我們有一個(gè)電流 I,以其為軸作一個(gè)圓,把這個(gè)圓稱(chēng)為 S,那么 ?S 就是這個(gè)圓的邊緣。這個(gè)電流 I 產(chǎn)生了一些磁場(chǎng),(按照右手定則)繞著導(dǎo)線(xiàn)。顯然磁場(chǎng)線(xiàn)和?S 都是“繞著導(dǎo)線(xiàn)”,方向一致,所以“閉合曲線(xiàn) ?S 的環(huán)量”是個(gè)正數(shù),不為 0,而“該曲線(xiàn)環(huán)住的電流”為 I,也不為 0。

例子11:假設(shè)我們改變電流方向,即把 I 變成 -I,那么所有的磁場(chǎng)線(xiàn)方向都反過(guò)來(lái)了,?S 的環(huán)量也因此獲得了一個(gè)負(fù)號(hào),所以“閉合曲線(xiàn) ?S 的環(huán)量”和“該曲線(xiàn)環(huán)住的電流”均獲得一個(gè)負(fù)號(hào)。等式再一次成立。

例子12:和高斯定律很像,我們隨便怎么改變這一個(gè)環(huán)的大小、面積,只要環(huán)住的電流不變,算出來(lái)的環(huán)量都不會(huì)變(盡管可能會(huì)非常難算)。而若電流在這個(gè)環(huán)外面,盡管仍然有磁場(chǎng)存在,但在計(jì)算環(huán)量時(shí)相互抵消,使得等式兩邊都變成 0。

例子13:“變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)”(即第二項(xiàng))的例子非常難找,這也正是安培當(dāng)年沒(méi)有自己發(fā)現(xiàn)、非要等到麥克斯韋幫忙才發(fā)現(xiàn)的原因。我這里不妨不再細(xì)述,讀者只要接受這個(gè)設(shè)定就好。有興趣的讀者可以自己思考一個(gè)這種情況的例子。

最后,還記得我們之前說(shuō)過(guò)“保守力場(chǎng)的任意環(huán)量都為 0”嗎?顯然,要想讓磁場(chǎng)的環(huán)量為 0,那就只能既沒(méi)有電流(方程 (4) 中的第一項(xiàng)),也沒(méi)有變化的電通量(第二項(xiàng)),那么磁場(chǎng)只能為 0。換言之,任何磁場(chǎng)都不是保守力場(chǎng)。想讓電場(chǎng)的通量為 0 還比較簡(jiǎn)單,

只需要令磁通量不變(方程 (2))就好了。換言之,只有在靜電學(xué)(電磁場(chǎng)均靜止不變)中,靜電場(chǎng)才是保守力場(chǎng)。

7. 向量微分
麥克斯韋方程組描述了所有的電磁現(xiàn)象,從每個(gè)方程的名字也可以看出,方程組總結(jié)、整合了前人(庫(kù)侖、高斯、安培、法拉第等)發(fā)現(xiàn)的各種現(xiàn)象和其方程(在麥克斯韋以前這樣的方程可能有數(shù)十個(gè)),而麥克斯韋把它們總結(jié)歸納到了一起,用短短四個(gè)公式涵蓋了所有現(xiàn)象,非常了不起。然而平心而論,積分形式仍然顯得頗為繁瑣,
原因有二:
1. 積分是很難算的,雖然每一個(gè)方程的左右兩邊都必然相等,但隨便給你一個(gè)場(chǎng)和一個(gè)曲面 / 曲線(xiàn),想把左側(cè)的積分算出來(lái)極為困難;
2. 也正因?yàn)槿绱?我們盡管有可以描述電磁場(chǎng)的方程,但給定一個(gè)特定的來(lái)源(比如天線(xiàn)中一個(gè)來(lái)回?fù)u擺的電荷),我們想算出具體的 E 和 B 也是極為困難,因?yàn)槲覀冎恢?E 和 B 在某個(gè)特殊曲面 / 曲線(xiàn)上的積分。

這就是微分形式的好處。首先,計(jì)算一個(gè)給定向量場(chǎng)的微分(散度和旋度)是很簡(jiǎn)單的,只要使用之前提到過(guò)的 ? · 和 ? × 算符就好,而這兩個(gè)算符都有一套固定的算法。其次,散度和旋度代表著一個(gè)向量場(chǎng)的兩種不同的自由度,有著非常直接的幾何意義,從這兩個(gè)量中恢復(fù)出向量場(chǎng)也是比較直觀(guān)的過(guò)程。當(dāng)然,我們又需要再準(zhǔn)備一些向量微積分的知識(shí),其中的重點(diǎn)就是散度和旋度。

散度 divergence,顧名思義,是指一個(gè)向量場(chǎng)發(fā)散的程度。一個(gè)向量場(chǎng) F 的散度是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)(向量場(chǎng)的每一點(diǎn)有一個(gè)自己的散度),寫(xiě)作 ? · F(這個(gè)寫(xiě)法也很直白,因?yàn)辄c(diǎn)乘就是標(biāo)量)。如果一個(gè)點(diǎn)的散度為正,那么在這一點(diǎn)上 F 有向外發(fā)散的趨勢(shì);如果為負(fù),那么在這一點(diǎn)上 F 有向內(nèi)收斂的趨勢(shì)。

旋度 curl 則指一個(gè)向量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)的程度。一個(gè)向量場(chǎng) F 的旋度是一個(gè)向量場(chǎng)(向量場(chǎng)的每一點(diǎn)有一個(gè)自己的旋度,而且是一個(gè)向量;這是因?yàn)樾D(zhuǎn)的方向需要標(biāo)明出來(lái)),寫(xiě)作 ? × F(這個(gè)寫(xiě)法也很直白,因?yàn)椴娉司褪窍蛄?。如果一個(gè)點(diǎn)的旋度不為 0,那么在這一點(diǎn)上 F 有漩渦的趨勢(shì),而這個(gè)旋度的方向表明了旋轉(zhuǎn)的方向。

舉些例子,以下是兩個(gè)向量場(chǎng)的例子。其中第一個(gè)向量場(chǎng)往外發(fā)散,但完全沒(méi)有旋轉(zhuǎn)扭曲的趨勢(shì);第二個(gè)向量場(chǎng)形成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的漩渦,但沒(méi)有任何箭頭在往外或往里指,沒(méi)有發(fā)散或收斂的趨勢(shì)。(顯然這兩個(gè)圖都是用字符直接畫(huà)的;大家湊合著看,有空我再搞張好看點(diǎn)的圖)

散度不為 0、但旋度為 0 的向量場(chǎng):
↖ ↑ ↗
← · →
↙ ↓ ↘

旋度不為 0、但散度為 0 的向量場(chǎng):

↗ → ↘
↑ · ↓
↖ ← ↙
因此,如你所見(jiàn),散度和旋度描述的都是非常直觀(guān)的幾何性質(zhì)。只要知道一個(gè)向量場(chǎng)的散度和旋度,我們就可以唯一確定這個(gè)向量場(chǎng)本身(這是亥姆霍茲定理,我要是有興致可以以后簡(jiǎn)單談?wù)?。

麥克斯韋方程組的微分形式,就是要描述電磁場(chǎng)的散度和旋度。我前邊說(shuō)到,微分形式和積分形式是完全等價(jià)的,我很也可以很輕松地從一個(gè)形式推導(dǎo)出另一個(gè)形式,用的是高斯定理(不要和高斯定律混淆、又叫散度定理)和斯托克斯定理。

高斯定理 Gauss's Theorem:一個(gè)向量場(chǎng) F 在閉合曲面 ?V 上的通量,等于該曲面包裹住的體積 V 里的 F 全部的散度(F 的散度的體積積分)。這是可以想象的,畢竟通量就是在計(jì)算有多少場(chǎng)從這個(gè)閉合曲面里發(fā)散出去了,也就是總共的散度(散度的積分)。

斯托克斯定理 Stokes' Theorem:一個(gè)向量場(chǎng) F 在閉合曲線(xiàn) ?S 上的環(huán)量,等于該曲線(xiàn)環(huán)住的曲面 S 上的 F 全部的旋度(F 的旋度的曲面積分)。這也是可以想象的,畢竟環(huán)量就是在計(jì)算有多少場(chǎng)和這個(gè)環(huán)方向一樣(有多少場(chǎng)在沿著這個(gè)環(huán)旋轉(zhuǎn)),也就是總共的旋度(旋度的積分)。

總結(jié)如下表:

8. 麥克斯韋方程組的微分形式

了解了散度和旋度的概念之后,我們便可以讀懂麥克斯韋方程組的微分形式了。

(1)、高斯定律:電場(chǎng) E 的散度,等于在該點(diǎn)的電荷密度 ρ(乘上系數(shù) 1/ε0);

(2)、法拉第定律:電場(chǎng) E 的旋度,等于在該點(diǎn)的磁場(chǎng) B 的變化率(乘上系數(shù) -1);

(3)、高斯磁定律:磁場(chǎng) B 的散度,等于 0;

(4)、安培麥克斯韋定律:磁場(chǎng) B 的旋度,等于在該點(diǎn)的電流密度 J(乘上系數(shù) μ0),加上在該點(diǎn)的電場(chǎng) E 的變化率(乘上系數(shù) μ0ε0)。

我們可以看出,電荷和電流對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)干的事情是不一樣的:電荷的作用是給電場(chǎng)貢獻(xiàn)一些散度,而電流的作用是給磁場(chǎng)貢獻(xiàn)一些旋度。然而變化的電磁場(chǎng)對(duì)對(duì)方干的事情是一樣的,都是給對(duì)方貢獻(xiàn)一些旋度。

想看一些具體例子的同學(xué)要失望了。微分形式的例子比較難舉,因?yàn)槲⒎中问街饕亲層?jì)算更加簡(jiǎn)便,在數(shù)學(xué)上比較有優(yōu)勢(shì),而應(yīng)用到具體的現(xiàn)象上則不那么顯而易見(jiàn)。不過(guò),至少靜電磁場(chǎng)的例子還是可以舉的。比如,我們知道電場(chǎng)線(xiàn)總是從正電荷出發(fā)、然后進(jìn)入負(fù)電荷,這正是在說(shuō)電場(chǎng)的散度在正電荷處為正,在負(fù)電荷處為負(fù)。再例如我們知道磁場(chǎng)線(xiàn)總是繞著電流,而不會(huì)進(jìn)入或發(fā)源于電流,這也就是在說(shuō)磁場(chǎng)有旋度而一定沒(méi)有散度。

9. 電磁波
我剛剛提到,微分形式的主要好處是數(shù)學(xué)上處理起來(lái)很簡(jiǎn)便,我現(xiàn)在就給一個(gè)例子,也就是著名的光速。想象我們?cè)谡婵罩?周?chē)裁炊紱](méi)有。這個(gè)時(shí)候,顯然電荷密度和電流密度均為 0,所以麥克斯韋方程組的微分形式變成了:

這四個(gè)公式簡(jiǎn)直太對(duì)稱(chēng)了!而且它們的含義也很清晰,基本就是說(shuō),變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng),而變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。這就是電磁波 electromagnetic wave 的方程,電磁波也就是電場(chǎng)和磁場(chǎng)此消彼長(zhǎng)、相互轉(zhuǎn)化、向前傳播的形式。

想要具體解出這個(gè)方程的解,還是需要玩兒一會(huì)兒微積分的,但是我們注意到兩個(gè)式子分別有系數(shù) -1 和 μ0ε0。如果你了解波動(dòng)方程的話(huà),從這兩個(gè)系數(shù)就可以算出這個(gè)波傳播的速度,為

然而!μ0 和 ε0 這兩個(gè)常數(shù)是真空的性質(zhì)(分別叫做

真空電導(dǎo)率 vacuum
permittivity 和真空磁導(dǎo)率 vacuum permeability),是個(gè)定值。換句話(huà)說(shuō),電磁波傳播的速度(光速)也是一個(gè)定值!也就是說(shuō),在任何參考系里觀(guān)察,光速都應(yīng)該是一樣的 c!這根據(jù)伽利略速度相加原理是不可能的(靜止的你認(rèn)為火車(chē)的速度是 50 m/s,那么如果你以 1 m/s 的速度往前走你就會(huì)認(rèn)為火車(chē)的速度只有 49 m/s,顯然不會(huì)仍然是 50 m/s),但是電磁學(xué)卻實(shí)實(shí)在在地告訴我們光速是不會(huì)變的。吶,這就是相對(duì)論的由來(lái)了。

10. 方向性

可能有同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn),我們的討論中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。畢竟初高中學(xué)電磁的時(shí)候,出現(xiàn)了各種左手、右手定則(插一句,請(qǐng)一定一定忘掉左手定則,使用左手簡(jiǎn)直反人類(lèi),在正統(tǒng)的向量微積分和電磁學(xué)里只有右手定則)。在之前對(duì)于麥克斯韋方程組的詮釋中,我們似乎很少提及方向。麥克斯韋方程組描述了方向性嗎?

答案是肯定的。方向或者說(shuō)手性(為什么是“右手”定則而不是“左手”定則?)來(lái)自于叉乘的定義和面積的向量微分元素的定義。我們定義叉乘 u×v 是一個(gè)向量,指的方向是垂直于 u 和 v 的方向;但顯然有兩個(gè)不同的方向均滿(mǎn)足這個(gè)條件,而我們選擇了其中特定的一個(gè),把選擇的這個(gè)規(guī)則叫做“右手定則”。類(lèi)似地,一個(gè)曲面 S 也有兩個(gè)方向(即其微分元素 da 是向量)。注意到曲線(xiàn)積分也是有方向性的(即其微分元素 dl也是向量),因此我們把 S 的 da 和 ?S 的 dl 聯(lián)系起來(lái),這個(gè)聯(lián)系的規(guī)則也叫做“右手定則”。

上面這些情況中,選擇“右手”是非常隨意的;原則上我也可以全部選擇左手,那么我得到的數(shù)學(xué)體系和原來(lái)的是完全等價(jià)的。當(dāng)然,磁場(chǎng) B 會(huì)和原來(lái)的磁場(chǎng)指的方向完全相反,但是沒(méi)有關(guān)系,因?yàn)槲覀冇植荒苤苯涌吹酱艌?chǎng),所有的定律的手性都變了之后,描述的物理是不變的。但是,選擇右手是約定俗成的,也就沒(méi)必要再糾結(jié)為什么了。

11. 梯度、二次導(dǎo)數(shù)
我在之前說(shuō)到保守力場(chǎng)的時(shí)候,偷偷塞進(jìn)來(lái)過(guò)這樣一個(gè)式子:F=-?V。這里F是個(gè)向量場(chǎng),V是個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。我們看到,這個(gè)神奇的倒三角不但可以表示散度(把向量變成標(biāo)量)和旋度(把向量變成向量),還可以這樣把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成一個(gè)向量場(chǎng)!數(shù)學(xué)上這個(gè)倒三角叫Nabla算符,而?V叫做一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)V的梯度。

什么叫做梯度呢?其實(shí)相比于散度和旋度,這應(yīng)該是更加熟悉的概念。梯度gradient就是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變化的程度。我們可以把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)想象成一個(gè)山坡,每一點(diǎn)的梯度是一個(gè)向量,指的方向是上坡的方向,大小則是坡的陡峭程度。

總結(jié)一下我們見(jiàn)到的三種向量微分吧:

深入淺出地講解麥克斯韋方程組Maxwell應(yīng)用技術(shù)圖片21

于是從F=-?V這個(gè)公式我們看到,保守力場(chǎng)(比如引力場(chǎng))可以表示為某個(gè)標(biāo)量場(chǎng)(比如引力勢(shì)能)的梯度。之前說(shuō)過(guò),保守力場(chǎng)的環(huán)量/旋度一定為0。這也就是說(shuō),梯度的旋度一定為0。這是可以想象的,梯度指的是上坡的方向,而如果它有旋度,就意味著它們的指向可以形成的一個(gè)環(huán),在這個(gè)環(huán)上可以一直上坡。這就像彭羅斯樓梯,是不可能的情形。

還有一個(gè)類(lèi)似的定理,是說(shuō)旋度的散度一定為0。我們也來(lái)想一下幾何上這意味著什么。如果旋度有散度,就意味著在某個(gè)球上散度都在往球外指,也就意味著在球上每個(gè)點(diǎn)這個(gè)場(chǎng)都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的。想想也知道這是不可能的。所以我們得到了兩個(gè)重要的結(jié)論:
1. 任意標(biāo)量場(chǎng)V的梯度?V都是沒(méi)有旋度的,也就是?×(?V)=0;
2. 任意向量場(chǎng)F的旋度?×F都是沒(méi)有散度的,也就是?·(?×F)=0。

我說(shuō)過(guò),這些“X度”都可以認(rèn)為是場(chǎng)的一種微分,那么這些“X度的X度”就可以認(rèn)為是二次導(dǎo)數(shù)了。我們看到,有兩種二次導(dǎo)數(shù)都自動(dòng)為0,不必我們深究。還有一種二次導(dǎo)數(shù)也很有名,也就是梯度的散度,它甚至有了一個(gè)專(zhuān)門(mén)的花哨的名字,叫“拉普拉斯算符”Laplacian。在此我不作展開(kāi),大家只要知道它挺重要的就行。

12. 電荷守恒
從麥克斯韋方程組中可以直接推出電荷守恒。這個(gè)推導(dǎo)十分簡(jiǎn)單,且頗為有趣,可以讓大家看到向量微積分的方便之處,我就簡(jiǎn)要寫(xiě)一下:

首先我們有安培-麥克斯韋定律:

深入淺出地講解麥克斯韋方程組Maxwell應(yīng)用技術(shù)圖片22

兩邊同時(shí)取散度:

注意到左邊是磁場(chǎng)的旋度的散度,而旋度的散度一定為0,故左邊為0。右邊交換散度和時(shí)間導(dǎo)數(shù),并約掉μ0,得:

使用高斯定律:

代入原式,約掉ε0,得:

這個(gè)就是電荷守恒的公式。用語(yǔ)言說(shuō),就是電流密度的散度加上電荷密度的變化率一定為0。如果這比較抽象,我們可以對(duì)兩項(xiàng)同時(shí)體積積分,再對(duì)J那項(xiàng)使用高斯定律變成面積積分,則結(jié)論變成:
一塊體積V內(nèi)的電荷的變化率加上通過(guò)表面?V的電流一定為0。

舉個(gè)栗子,如果一塊體積內(nèi)的電荷Q變少了,其變化率為負(fù),根據(jù)上述結(jié)論,通過(guò)表面的電流一定為正,也就是說(shuō)有電流從這塊體積內(nèi)流出去了。這就是非常明顯的電荷守恒了,給出了電荷和電流的關(guān)系,這個(gè)公式也叫“連續(xù)性方程”continuity equation。連續(xù)性方程在流體力學(xué)里十分重要,甚至在量子力學(xué)里的概率也遵守這個(gè)方程(電荷->概率,電流->概率流)。

S1. 附錄:省略掉的各種公式和定義

庫(kù)侖定律:

畢奧-薩伐爾定律:

Nabla算符:

梯度:

散度:

深入淺出地講解麥克斯韋方程組Maxwell應(yīng)用技術(shù)圖片36

旋度:

高斯定理:

斯托克斯定理:

真空中的電磁波:

附:關(guān)于麥克斯韋電磁方程的動(dòng)畫(huà)視頻講解

著作權(quán)歸作者所有
作者:孫研

-End-

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